Номер 2.63, страница 100 - гдз по алгебре 9 класс учебник Арефьева, Пирютко

2.63*. Докажите, что функция:

a) $f(x)=2x$ является возрастающей;

б) $f(x)=1-3x$ является убывающей.

Чтобы доказать, что функция $f(x) = 2x$ является возрастающей, нужно показать, что для любых двух значений аргумента $x_1$ и $x_2$ из области определения функции, таких что $x_2 > x_1$, выполняется неравенство $f(x_2) > f(x_1)$.

1. Область определения данной функции — все действительные числа, то есть $x \in (-\infty; +\infty)$.

2. Выберем два произвольных числа $x_1$ и $x_2$ так, чтобы выполнялось условие $x_2 > x_1$.

3. Найдем значения функции в этих точках:

• $f(x_1) = 2x_1$
• $f(x_2) = 2x_2$

4. Составим разность значений функции $f(x_2) - f(x_1)$:
$f(x_2) - f(x_1) = 2x_2 - 2x_1 = 2(x_2 - x_1)$

5. Проанализируем знак полученного выражения. По нашему первоначальному условию, $x_2 > x_1$, следовательно, разность $x_2 - x_1$ будет положительной: $x_2 - x_1 > 0$.

6. Так как мы умножаем положительное число $(x_2 - x_1)$ на положительное число 2, результат также будет положительным:
$2(x_2 - x_1) > 0$

7. Из этого следует, что $f(x_2) - f(x_1) > 0$, а это значит, что $f(x_2) > f(x_1)$.

Так как для любого $x_2 > x_1$ выполняется $f(x_2) > f(x_1)$, то функция по определению является возрастающей на всей области определения.
Ответ: функция $f(x) = 2x$ является возрастающей.

Чтобы доказать, что функция $f(x) = 1 - 3x$ является убывающей, нужно показать, что для любых двух значений аргумента $x_1$ и $x_2$ из области определения функции, таких что $x_2 > x_1$, выполняется неравенство $f(x_2) < f(x_1)$.

1. Область определения данной функции — все действительные числа, то есть $x \in (-\infty; +\infty)$.

2. Выберем два произвольных числа $x_1$ и $x_2$ так, чтобы выполнялось условие $x_2 > x_1$.

3. Найдем значения функции в этих точках:

• $f(x_1) = 1 - 3x_1$
• $f(x_2) = 1 - 3x_2$

4. Составим разность значений функции $f(x_2) - f(x_1)$:
$f(x_2) - f(x_1) = (1 - 3x_2) - (1 - 3x_1) = 1 - 3x_2 - 1 + 3x_1 = 3x_1 - 3x_2 = -3(x_2 - x_1)$

5. Проанализируем знак полученного выражения. По нашему первоначальному условию, $x_2 > x_1$, следовательно, разность $x_2 - x_1$ будет положительной: $x_2 - x_1 > 0$.

6. Так как мы умножаем положительное число $(x_2 - x_1)$ на отрицательное число -3, результат будет отрицательным:
$-3(x_2 - x_1) < 0$

7. Из этого следует, что $f(x_2) - f(x_1) < 0$, а это значит, что $f(x_2) < f(x_1)$.

Так как для любого $x_2 > x_1$ выполняется $f(x_2) < f(x_1)$, то функция по определению является убывающей на всей области определения.
Ответ: функция $f(x) = 1 - 3x$ является убывающей.