Номер 2.57, страница 100 - гдз по алгебре 9 класс учебник Арефьева, Пирютко

2.57. На рисунке 23 изображен график функции $y = -9x^4 + 10x^2 - 1$. Точки $A(x_1; y_1)$; $B(x_2; y_2)$ принадлежат данному графику. Найдите $x_1$ и $x_2$.

Рис. 23

Точки A($x_1; y_1$) и B($x_2; y_2$), изображенные на рисунке, являются точками пересечения графика функции $y = -9x^4 + 10x^2 - 1$ с осью абсцисс (осью Ox). В точках пересечения с осью Ox значение ординаты (y) равно нулю.

Чтобы найти абсциссы $x_1$ и $x_2$, необходимо решить уравнение, приравняв y к нулю:

$-9x^4 + 10x^2 - 1 = 0$

Это биквадратное уравнение. Для его решения введем замену переменной. Пусть $t = x^2$. Поскольку квадрат любого действительного числа неотрицателен, должно выполняться условие $t \ge 0$.

После замены уравнение принимает вид квадратного уравнения относительно переменной $t$:

$-9t^2 + 10t - 1 = 0$

Для удобства вычислений умножим обе части уравнения на -1:

$9t^2 - 10t + 1 = 0$

Найдем корни этого квадратного уравнения с помощью дискриминанта ($D = b^2 - 4ac$):

$D = (-10)^2 - 4 \cdot 9 \cdot 1 = 100 - 36 = 64$

Так как $D > 0$, уравнение имеет два действительных корня:

$t_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{10 - \sqrt{64}}{2 \cdot 9} = \frac{10 - 8}{18} = \frac{2}{18} = \frac{1}{9}$

$t_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{10 + \sqrt{64}}{2 \cdot 9} = \frac{10 + 8}{18} = \frac{18}{18} = 1$

Оба найденных значения для $t$ положительны ($t_1 = 1/9 > 0$ и $t_2 = 1 > 0$), следовательно, они оба являются допустимыми решениями.

Теперь выполним обратную замену, чтобы найти значения $x$:

1. При $t = \frac{1}{9}$:
$x^2 = \frac{1}{9} \implies x = \pm\sqrt{\frac{1}{9}} \implies x = \pm\frac{1}{3}$

2. При $t = 1$:
$x^2 = 1 \implies x = \pm\sqrt{1} \implies x = \pm1$

Таким образом, мы получили четыре точки пересечения графика с осью Ox, абсциссы которых равны -1, $-\frac{1}{3}$, $\frac{1}{3}$ и 1.

Проанализируем график, чтобы определить, какие из этих значений соответствуют $x_1$ и $x_2$:

• Точка A($x_1; 0$) находится на отрицательной части оси Ox и является самой левой точкой пересечения. Следовательно, ее абсцисса $x_1$ — это наименьший из всех найденных корней.
• Точка B($x_2; 0$) находится на положительной части оси Ox и расположена ближе к началу координат O, чем другая положительная точка пересечения. Следовательно, ее абсцисса $x_2$ — это наименьший из положительных корней.

$x_1$: Наименьший корень из набора $\{-1, -\frac{1}{3}, \frac{1}{3}, 1\}$ — это -1. Ответ: -1

$x_2$: Положительные корни — это $\frac{1}{3}$ и 1. Наименьший из них — $\frac{1}{3}$. Ответ: $\frac{1}{3}$