Номер 2.64, страница 100 - гдз по алгебре 9 класс учебник Арефьева, Пирютко

2.64* Докажите, что функция $g(x) = \frac{3}{x}$ убывает на промежутке $(0; +\infty)$.

Для доказательства того, что функция $g(x) = \frac{3}{x}$ убывает на промежутке $(0; +\infty)$, необходимо показать, что для любых двух значений $x_1$ и $x_2$ из этого промежутка, таких что $x_1 < x_2$, выполняется неравенство $g(x_1) > g(x_2)$.

1. Выберем произвольные $x_1$ и $x_2$ из промежутка $(0; +\infty)$ такие, что $x_1 < x_2$.

2. Поскольку $x_1 \in (0; +\infty)$ и $x_2 \in (0; +\infty)$, оба значения являются положительными: $x_1 > 0$ и $x_2 > 0$.

3. Рассмотрим разность значений функции в этих точках: $g(x_1) - g(x_2)$.

$g(x_1) - g(x_2) = \frac{3}{x_1} - \frac{3}{x_2}$

4. Для того чтобы сравнить эти значения, приведем дроби к общему знаменателю:

$\frac{3}{x_1} - \frac{3}{x_2} = \frac{3 \cdot x_2}{x_1 \cdot x_2} - \frac{3 \cdot x_1}{x_2 \cdot x_1} = \frac{3x_2 - 3x_1}{x_1x_2}$

Вынесем общий множитель 3 в числителе:

$\frac{3(x_2 - x_1)}{x_1x_2}$

5. Теперь проанализируем знак полученного выражения:

• Знаменатель $x_1x_2$: так как $x_1 > 0$ и $x_2 > 0$, их произведение $x_1x_2$ также будет положительным.
• Числитель $3(x_2 - x_1)$: по нашему первоначальному условию $x_1 < x_2$, следовательно, разность $x_2 - x_1$ является положительным числом. Произведение положительного числа 3 на положительную разность $(x_2 - x_1)$ также будет положительным.

Поскольку и числитель, и знаменатель дроби положительны, то и вся дробь положительна:

$\frac{3(x_2 - x_1)}{x_1x_2} > 0$

6. Таким образом, мы получили, что разность $g(x_1) - g(x_2) > 0$. Это неравенство равносильно тому, что $g(x_1) > g(x_2)$.

Мы доказали, что для любых $x_1$ и $x_2$ из промежутка $(0; +\infty)$, если $x_1 < x_2$, то $g(x_1) > g(x_2)$. Это полностью соответствует определению убывающей функции.

Следовательно, функция $g(x) = \frac{3}{x}$ убывает на промежутке $(0; +\infty)$, что и требовалось доказать.