Номер 2.71, страница 102 - гдз по алгебре 9 класс учебник Арефьева, Пирютко

2.71. Какие из данных функций не имеют нулей:

а) $f(x)=|x|-8$;

б) $g(x)=x^2+5$;

в) $h(x)=\frac{7}{x}$;

г) $q(x)=\sqrt{x}+2$?

Для того чтобы определить, какие из данных функций не имеют нулей, необходимо для каждой функции найти значения аргумента $x$, при которых значение функции равно нулю. Нули функции — это корни уравнения, которое получается приравниванием функции к нулю ($f(x) = 0$).

а) $f(x) = |x| - 8$
Приравняем функцию к нулю и решим уравнение:$|x| - 8 = 0$
$|x| = 8$
Это уравнение имеет два корня: $x_1 = 8$ и $x_2 = -8$.
Ответ: функция имеет нули.

б) $g(x) = x^2 + 5$
Приравняем функцию к нулю и решим уравнение:$x^2 + 5 = 0$
$x^2 = -5$
Так как квадрат любого действительного числа является неотрицательной величиной ($x^2 \ge 0$), это уравнение не имеет действительных корней.
Ответ: функция не имеет нулей.

в) $h(x) = \frac{7}{x}$
Приравняем функцию к нулю и решим уравнение:$\frac{7}{x} = 0$
Дробь равна нулю тогда и только тогда, когда её числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю. В данном случае числитель равен 7, поэтому он не может быть равен нулю ни при каком значении $x$. Следовательно, уравнение не имеет корней.
Ответ: функция не имеет нулей.

г) $q(x) = \sqrt{x} + 2$
Приравняем функцию к нулю и решим уравнение:$\sqrt{x} + 2 = 0$
$\sqrt{x} = -2$
По определению, значение арифметического квадратного корня ($\sqrt{x}$) не может быть отрицательным. Следовательно, это уравнение не имеет действительных корней.
Ответ: функция не имеет нулей.

Таким образом, функции, не имеющие нулей: б) $g(x) = x^2 + 5$, в) $h(x) = \frac{7}{x}$ и г) $q(x) = \sqrt{x} + 2$.