Номер 2.77, страница 102 - гдз по алгебре 9 класс учебник Арефьева, Пирютко

2.77*. Докажите, что функция $g(x) = -\frac{7}{x}$ возрастает на промежутке $(0; +\infty)$.

Для доказательства того, что функция $g(x) = -\frac{7}{x}$ возрастает на промежутке $(0; +\infty)$, необходимо показать, что для любых двух значений аргумента $x_1$ и $x_2$ из этого промежутка, таких что $x_1 < x_2$, выполняется неравенство $g(x_1) < g(x_2)$. Это является определением возрастающей функции.

1. Возьмем два произвольных числа $x_1$ и $x_2$ из промежутка $(0; +\infty)$, такие что $x_1 < x_2$. Из условия $x_1, x_2 \in (0; +\infty)$ следует, что оба числа положительны: $x_1 > 0$ и $x_2 > 0$.

2. Рассмотрим разность значений функции в этих точках: $g(x_2) - g(x_1)$. Если эта разность будет положительной, то $g(x_2) > g(x_1)$, и функция будет возрастающей.

$g(x_2) - g(x_1) = \left(-\frac{7}{x_2}\right) - \left(-\frac{7}{x_1}\right) = \frac{7}{x_1} - \frac{7}{x_2}$

3. Приведем полученное выражение к общему знаменателю:

$\frac{7}{x_1} - \frac{7}{x_2} = \frac{7x_2 - 7x_1}{x_1 x_2} = \frac{7(x_2 - x_1)}{x_1 x_2}$

4. Проанализируем знак полученной дроби:

• Поскольку по условию $x_1 < x_2$, то разность $x_2 - x_1$ положительна: $x_2 - x_1 > 0$.
• Так как $x_1 > 0$ и $x_2 > 0$, их произведение также положительно: $x_1 x_2 > 0$.

Числитель дроби $7(x_2 - x_1)$ является произведением двух положительных чисел, значит, он положителен. Знаменатель $x_1 x_2$ также положителен. Частное двух положительных чисел всегда положительно.

Следовательно, $\frac{7(x_2 - x_1)}{x_1 x_2} > 0$.

Таким образом, мы доказали, что $g(x_2) - g(x_1) > 0$, что равносильно неравенству $g(x_2) > g(x_1)$.

Так как для любых $x_1$ и $x_2$ из промежутка $(0; +\infty)$ из $x_1 < x_2$ следует $g(x_1) < g(x_2)$, функция $g(x) = -\frac{7}{x}$ является возрастающей на этом промежутке. Что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано.