Номер 2.74, страница 102 - гдз по алгебре 9 класс учебник Арефьева, Пирютко

2.74. Найдите, при каких значениях аргумента функция принимает отрицательные значения:

а) $f(x)=3-x$;

б) $f(x)=-x^2-2x-1$;

в) $f(x)=\frac{4}{x}$.

Чтобы найти значения аргумента, при которых функция принимает отрицательные значения, необходимо для каждой функции решить неравенство $f(x) < 0$.

а) Для функции $f(x) = 3 - x$ решаем неравенство:
$3 - x < 0$
Переносим $x$ в правую часть неравенства, меняя знак:
$3 < x$
Таким образом, функция принимает отрицательные значения при всех $x$, которые больше 3.
Ответ: $x \in (3; +\infty)$.

б) Для функции $f(x) = -x^2 - 2x - 1$ решаем неравенство:
$-x^2 - 2x - 1 < 0$
Умножим обе части неравенства на $-1$ и сменим знак неравенства на противоположный:
$x^2 + 2x + 1 > 0$
Левая часть неравенства представляет собой формулу квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$:
$(x + 1)^2 > 0$
Квадрат любого действительного числа всегда неотрицателен, то есть $(x + 1)^2 \ge 0$. Равенство нулю достигается при $x+1=0$, то есть при $x=-1$. Во всех остальных случаях квадрат будет строго больше нуля.
Следовательно, неравенство выполняется для всех действительных чисел, кроме $x = -1$.
Ответ: $x \in (-\infty; -1) \cup (-1; +\infty)$.

в) Для функции $f(x) = \frac{4}{x}$ решаем неравенство:
$\frac{4}{x} < 0$
Значение дроби будет отрицательным, если ее числитель и знаменатель имеют разные знаки. Числитель $4$ — положительное число. Следовательно, для выполнения неравенства знаменатель $x$ должен быть отрицательным.
$x < 0$
Ответ: $x \in (-\infty; 0)$.