Номер 2.79, страница 103 - гдз по алгебре 9 класс учебник Арефьева, Пирютко

2.79. Из чисел $ \frac{5}{7} $; $ 8,(3) $; $ \sqrt{15} $; $ -\frac{4}{12} $; $ \sqrt{2} $; $ \pi $ выберите все те, которые нельзя представить в виде бесконечной периодической десятичной дроби. Какому числовому множеству принадлежат все оставшиеся числа?

Для ответа на этот вопрос необходимо классифицировать данные числа на рациональные и иррациональные.

Рациональные числа — это числа, которые можно представить в виде дроби $\frac{m}{n}$, где $m$ — целое число, а $n$ — натуральное. Десятичное представление любого рационального числа является либо конечной, либо бесконечной периодической дробью.

Иррациональные числа — это вещественные числа, которые не являются рациональными. Их десятичное представление всегда является бесконечной непериодической дробью.

Таким образом, вопрос "выберите все те, которые нельзя представить в виде бесконечной периодической десятичной дроби" сводится к поиску иррациональных чисел в предложенном списке.

Выберите все те, которые нельзя представить в виде бесконечной периодической десятичной дроби:
Проанализируем каждое число из списка: $\frac{5}{7}$; $8,(3)$; $\sqrt{15}$; $-\frac{4}{12}$; $\sqrt{2}$; $\pi$.

• $\frac{5}{7}$ и $-\frac{4}{12}$ — рациональные числа, так как они уже представлены в виде дроби.
• $8,(3)$ — рациональное число, так как это запись бесконечной периодической дроби.
• $\sqrt{15}$ и $\sqrt{2}$ — иррациональные числа, поскольку корень из целого числа, не являющегося полным квадратом, всегда иррационален.
• $\pi$ — по определению является иррациональным числом.

Следовательно, числа, которые нельзя представить в виде бесконечной периодической дроби, — это $\sqrt{15}$, $\sqrt{2}$ и $\pi$.
Ответ: $\sqrt{15}, \sqrt{2}, \pi$.

Какому числовому множеству принадлежат все оставшиеся числа?
Оставшиеся числа — это $\frac{5}{7}$; $8,(3)$; $-\frac{4}{12}$.
Все эти числа являются рациональными. Число $8,(3)$ можно перевести в обыкновенную дробь: пусть $x = 8.333...$, тогда $10x = 83.333...$. Вычитая первое из второго, получаем $9x = 75$, откуда $x = \frac{75}{9} = \frac{25}{3}$.
Это неправильная дробь, которую можно записать в виде смешанного числа: $8\frac{1}{3}$.
Таким образом, все оставшиеся числа принадлежат множеству рациональных чисел.
Ответ: множество рациональных чисел.