вопрос 1, страница 97 - гдз по алгебре 9 класс учебник Арефьева, Пирютко

1. Верно ли, что если функция не имеет нулей, то ее график на всей области определения функции лежит:

а) выше оси абсцисс;

б) ниже оси абсцисс;

в) по разные стороны от оси абсцисс?

Для ответа на этот вопрос необходимо проанализировать каждое утверждение отдельно. Условие "функция не имеет нулей" означает, что ее график $y = f(x)$ ни в одной точке не пересекает ось абсцисс (ось $Ox$), то есть не существует такого значения $x$ в области определения функции, для которого $f(x) = 0$.

Утверждение: "Если функция не имеет нулей, то ее график на всей области определения лежит выше оси абсцисс".

Это утверждение не является верным. То, что график не пересекает ось $Ox$, не гарантирует, что он находится именно над ней. Можно привести контрпример.

Контрпример: Рассмотрим функцию $f(x) = -x^2 - 1$. Чтобы найти нули этой функции, нужно решить уравнение $-x^2 - 1 = 0$, или $x^2 = -1$. Это уравнение не имеет действительных корней. Следовательно, функция не имеет нулей. Однако, поскольку коэффициент при $x^2$ отрицательный, ветви параболы направлены вниз, а ее вершина находится в точке $(0, -1)$. Это означает, что весь график функции лежит ниже оси абсцисс. Так как мы нашли функцию без нулей, график которой не лежит выше оси абсцисс, исходное утверждение ложно.

Утверждение: "Если функция не имеет нулей, то ее график на всей области определения лежит ниже оси абсцисс".

Это утверждение также неверно, что можно доказать аналогичным образом, приведя контрпример.

Контрпример: Рассмотрим функцию $f(x) = x^2 + 4$. Уравнение $x^2 + 4 = 0$ (или $x^2 = -4$) не имеет действительных корней, значит, у функции нет нулей. График этой функции – парабола с ветвями вверх и вершиной в точке $(0, 4)$. Весь график лежит выше оси абсцисс. Это опровергает утверждение, что любая функция без нулей обязана лежать ниже оси абсцисс.

Утверждение: "Если функция не имеет нулей, то ее график на всей области определения лежит по разные стороны от оси абсцисс".

Это утверждение также неверно. Лежать "по разные стороны" означает, что существуют точки $x_1$ и $x_2$ из области определения, для которых $f(x_1) > 0$ и $f(x_2) < 0$.

Контрпример: Функции из предыдущих пунктов, $f(x) = -x^2 - 1$ и $f(x) = x^2 + 4$, не имеют нулей. Однако график первой полностью лежит ниже оси, а график второй — полностью выше. Ни одна из них не имеет точек по разные стороны от оси абсцисс. Следовательно, утверждение неверно.

Важное замечание: Если функция непрерывна на своей области определения, и эта область представляет собой единый интервал (например, вся числовая прямая), то из отсутствия нулей следует, что функция сохраняет свой знак. Это следствие теоремы о промежуточном значении. В таком случае график функции будет лежать целиком либо выше, либо ниже оси абсцисс, и вариант "по разные стороны" для таких функций невозможен. Однако, если функция не является непрерывной или ее область определения состоит из нескольких не связанных между собой интервалов (например, $f(x) = 1/x$), то ее график может располагаться по разные стороны от оси, не имея при этом нулей.