Номер 5, страница 133 - гдз по алгебре 9 класс учебник Арефьева, Пирютко

5. Найдите промежутки знакопостоянства функции:

а) $f(x)=5x-9$;

б) $g(x)=x^2-11x+30$;

в) $h(x)=\frac{9}{x}$.

Чтобы найти промежутки знакопостоянства функции, необходимо определить, на каких интервалах области определения функция принимает положительные значения ($y>0$), а на каких — отрицательные ($y<0$). Для этого используется метод интервалов, который включает в себя нахождение нулей функции и точек разрыва, а затем определение знака функции на полученных интервалах.

а) $f(x) = 5x - 9$;

1. Найдем нули функции (точки, где график пересекает ось Ox), решив уравнение $f(x) = 0$:

$5x - 9 = 0$

$5x = 9$

$x = \frac{9}{5} = 1\frac{4}{5}$

2. Нуль функции $x = 1\frac{4}{5}$ разбивает числовую прямую на два интервала: $(-\infty; 1\frac{4}{5})$ и $(1\frac{4}{5}; +\infty)$.

3. Определим знак функции в каждом интервале. Так как функция линейная и возрастающая (угловой коэффициент $k=5 > 0$), то справа от корня она будет положительной, а слева — отрицательной.

• При $x$ из интервала $(1\frac{4}{5}; +\infty)$, например $x=2$, имеем: $f(2) = 5 \cdot 2 - 9 = 1 > 0$.
• При $x$ из интервала $(-\infty; 1\frac{4}{5})$, например $x=0$, имеем: $f(0) = 5 \cdot 0 - 9 = -9 < 0$.

Ответ: $f(x) > 0$ при $x \in (1\frac{4}{5}; +\infty)$; $f(x) < 0$ при $x \in (-\infty; 1\frac{4}{5})$.

б) $g(x) = x^2 - 11x + 30$;

1. Найдем нули функции, решив квадратное уравнение $g(x) = 0$:

$x^2 - 11x + 30 = 0$

По теореме Виета, найдем корни: $x_1 + x_2 = 11$ и $x_1 \cdot x_2 = 30$. Корни уравнения: $x_1 = 5, x_2 = 6$.

2. Нули функции $x=5$ и $x=6$ разбивают числовую прямую на три интервала: $(-\infty; 5)$, $(5; 6)$ и $(6; +\infty)$.

3. График данной функции — парабола, ветви которой направлены вверх (коэффициент при $x^2$ равен $1 > 0$). Следовательно, функция принимает положительные значения вне интервала между корнями и отрицательные — внутри этого интервала.

• $g(x) > 0$ на интервалах $(-\infty; 5) \cup (6; +\infty)$.
• $g(x) < 0$ на интервале $(5; 6)$.

Ответ: $g(x) > 0$ при $x \in (-\infty; 5) \cup (6; +\infty)$; $g(x) < 0$ при $x \in (5; 6)$.

в) $h(x) = \frac{9}{x}$.

1. Область определения функции: знаменатель не может быть равен нулю, $x \neq 0$. Таким образом, $D(h) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.

2. Найдем нули функции: уравнение $h(x) = \frac{9}{x} = 0$ не имеет решений, так как числитель 9 не равен нулю. График не пересекает ось Ox.

3. Точка разрыва $x=0$ делит числовую прямую на два интервала, на каждом из которых функция сохраняет знак: $(-\infty; 0)$ и $(0; +\infty)$.

4. Определим знак функции на каждом интервале. Так как числитель 9 всегда положителен, знак дроби зависит только от знака знаменателя $x$.

• При $x > 0$ (интервал $(0; +\infty)$), функция $h(x)$ положительна.
• При $x < 0$ (интервал $(-\infty; 0)$), функция $h(x)$ отрицательна.

Ответ: $h(x) > 0$ при $x \in (0; +\infty)$; $h(x) < 0$ при $x \in (-\infty; 0)$.