Номер 6, страница 133 - гдз по алгебре 9 класс учебник Арефьева, Пирютко

6. По графику функции, изображенному на рисунке 65, найдите:

а) область определения функции;

б) множество значений функции;

в) нули функции;

г) промежутки знакопостоянства функции;

д) промежутки монотонности функции.

Рис. 65

а) область определения функции; Ответ: Область определения функции (обозначается как $D(f)$ или $D(y)$) – это множество всех допустимых значений аргумента $x$, при которых функция имеет смысл. На графике это проекция графика на ось $Ox$. Крайняя левая точка графика имеет абсциссу $x=-6$, а крайняя правая – $x=9$. Обе точки включены в область определения (обозначены закрашенными кружками). Таким образом, область определения функции: $D(f) = [-6; 9]$.

б) множество значений функции; Ответ: Множество значений функции (обозначается как $E(f)$ или $E(y)$) – это множество всех значений, которые принимает функция $y$ на своей области определения. На графике это проекция графика на ось $Oy$. Самая низкая точка графика имеет ординату $y=-4$ (это минимум функции), а самая высокая – $y=4$ (это максимум функции). Таким образом, множество значений функции: $E(f) = [-4; 4]$.

в) нули функции; Ответ: Нули функции – это значения аргумента $x$, при которых значение функции равно нулю ($f(x)=0$). Геометрически это абсциссы точек пересечения графика функции с осью $Ox$. Из графика видно, что график пересекает ось $Ox$ в точках с абсциссами $x = -5$, $x = -1$, $x = 5$ и $x = 8$. Это и есть нули функции.

г) промежутки знакопостоянства функции; Ответ: Это промежутки, на которых функция сохраняет свой знак (либо положительна, либо отрицательна).

• Функция положительна ($f(x) > 0$), когда ее график находится выше оси $Ox$. Это происходит на интервалах $x \in (-5; -1)$ и $x \in (5; 8)$.
• Функция отрицательна ($f(x) < 0$), когда ее график находится ниже оси $Ox$. Это происходит на промежутках $x \in [-6; -5)$, $x \in (-1; 5)$ и $x \in (8; 9]$.

д) промежутки монотонности функции. Ответ: Это промежутки, на которых функция либо возрастает, либо убывает.

• Функция возрастает, когда с увеличением $x$ значения $y$ также увеличиваются (график идет вверх). Это происходит на промежутках: $[-6; -3]$ и $[2; 7]$.
• Функция убывает, когда с увеличением $x$ значения $y$ уменьшаются (график идет вниз). Это происходит на промежутках: $[-3; 2]$ и $[7; 9]$.