Номер 2.174, страница 132 - гдз по алгебре 9 класс учебник Арефьева, Пирютко

2.174. Упростите выражение $\sqrt{a^2 - 4ab + 4b^2} + \sqrt{4a^2}$ при $a < 0, b > 0.$

Для того чтобы упростить данное выражение, необходимо рассмотреть каждый радикал (корень) по отдельности, учитывая заданные условия $a < 0$ и $b > 0$.

Исходное выражение: $\sqrt{a^2 - 4ab + 4b^2} + \sqrt{4a^2}$

1. Упрощение первого члена: $\sqrt{a^2 - 4ab + 4b^2}$

Выражение под корнем, $a^2 - 4ab + 4b^2$, является формулой полного квадрата разности: $(x - y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$.

В нашем случае $x=a$ и $y=2b$, поэтому:

$a^2 - 4ab + 4b^2 = a^2 - 2 \cdot a \cdot (2b) + (2b)^2 = (a - 2b)^2$

Теперь подставим это обратно в корень:

$\sqrt{a^2 - 4ab + 4b^2} = \sqrt{(a - 2b)^2}$

По свойству арифметического квадратного корня $\sqrt{x^2} = |x|$, мы получаем:

$\sqrt{(a - 2b)^2} = |a - 2b|$

Далее, чтобы раскрыть модуль, нужно определить знак выражения $a - 2b$. По условию задачи $a < 0$ (a — отрицательное число) и $b > 0$ (b — положительное число). Следовательно, $-2b$ будет отрицательным числом. Сумма двух отрицательных чисел ($a$ и $-2b$) всегда отрицательна. Таким образом, $a - 2b < 0$.

По определению модуля, $|x| = -x$, если $x < 0$. Применяя это к нашему выражению:

$|a - 2b| = -(a - 2b) = -a + 2b = 2b - a$

2. Упрощение второго члена: $\sqrt{4a^2}$

Данный корень также можно упростить, используя свойство $\sqrt{x^2} = |x|$:

$\sqrt{4a^2} = \sqrt{(2a)^2} = |2a|$

Определим знак выражения $2a$. Так как по условию $a < 0$, то произведение $2a$ также будет отрицательным ($2a < 0$).

Следовательно, раскрываем модуль со знаком минус:

$|2a| = -2a$

3. Сложение результатов

Теперь сложим упрощенные выражения для обоих членов:

$\sqrt{a^2 - 4ab + 4b^2} + \sqrt{4a^2} = (2b - a) + (-2a)$

Раскрываем скобки и приводим подобные слагаемые:

$2b - a - 2a = 2b - 3a$

Ответ: $2b - 3a$.