Номер 2.169, страница 132 - гдз по алгебре 9 класс учебник Арефьева, Пирютко

2.169*. Функция $y = f(x)$ определена на множестве действительных чисел и $E(f) = [0; 8]$. Найдите множество значений функции:

а) $y = f(x+3)$;

б) $y = f(x)-5$;

в) $y = f(x+6)+9$;

г) $y = f(x-7)-1$.

По условию задачи, множество значений (область значений) функции $y = f(x)$ — это отрезок $E(f) = [0; 8]$. Это значит, что для любого значения аргумента $x$ выполняется двойное неравенство: $$0 \le f(x) \le 8$$Мы найдем множества значений для каждой из предложенных функций, проанализировав, как преобразования графика влияют на исходный диапазон значений.

а) $y = f(x + 3)$

Преобразование $y = f(x + 3)$ — это сдвиг графика функции $f(x)$ по горизонтали (вдоль оси $Ox$) на 3 единицы влево. Горизонтальный сдвиг не изменяет множество значений функции, так как все точки графика смещаются только влево или вправо, но не вверх или вниз. Следовательно, диапазон значений функции $y = f(x+3)$ остаётся таким же, как и у $y = f(x)$.

Ответ: $[0; 8]$.

б) $y = f(x) - 5$

Преобразование $y = f(x) - 5$ — это сдвиг графика функции $f(x)$ по вертикали (вдоль оси $Oy$) на 5 единиц вниз. При таком сдвиге каждое значение функции уменьшается на 5. Чтобы найти новое множество значений, применим это преобразование к границам исходного диапазона $[0; 8]$.

Начнем с исходного неравенства:$$0 \le f(x) \le 8$$Вычтем 5 из всех частей неравенства:$$0 - 5 \le f(x) - 5 \le 8 - 5$$$$-5 \le y \le 3$$Новое множество значений — это отрезок $[-5; 3]$.

Ответ: $[-5; 3]$.

в) $y = f(x + 6) + 9$

Здесь выполняются два преобразования: горизонтальный сдвиг на 6 единиц влево ($f(x+6)$) и вертикальный сдвиг на 9 единиц вверх ($+9$).

1. Горизонтальный сдвиг не влияет на множество значений, поэтому диапазон для $f(x+6)$ остается $[0; 8]$, то есть $0 \le f(x+6) \le 8$.
2. Вертикальный сдвиг на 9 единиц вверх смещает этот диапазон. Прибавим 9 ко всем частям неравенства:$$0 + 9 \le f(x+6) + 9 \le 8 + 9$$$$9 \le y \le 17$$Таким образом, искомое множество значений — это отрезок $[9; 17]$.

Ответ: $[9; 17]$.

г) $y = f(x - 7) - 1$

Здесь также выполняются два преобразования: горизонтальный сдвиг на 7 единиц вправо ($f(x-7)$) и вертикальный сдвиг на 1 единицу вниз ($-1$).

1. Горизонтальный сдвиг не меняет множество значений: $0 \le f(x-7) \le 8$.
2. Вертикальный сдвиг на 1 единицу вниз смещает диапазон. Вычтем 1 из всех частей неравенства:$$0 - 1 \le f(x-7) - 1 \le 8 - 1$$$$-1 \le y \le 7$$Следовательно, множество значений данной функции — это отрезок $[-1; 7]$.

Ответ: $[-1; 7]$.