Номер 2.165, страница 131 - гдз по алгебре 9 класс учебник Арефьева, Пирютко

2.165. Постройте график функции $y = \frac{6}{x+3} - 2$, преобразовав график функции $y = \frac{6}{x}$.

Для построения графика функции $y = \frac{6}{x+3} - 2$ необходимо выполнить последовательные преобразования графика базовой функции $y = \frac{6}{x}$.

Построение графика функции $y=\frac{6}{x+3}-2$ путем преобразования графика функции $y=\frac{6}{x}$:

1. Анализ базовой функции $y = \frac{6}{x}$.
График этой функции — гипербола.

• Асимптоты (прямые, к которым график бесконечно приближается): оси координат $x=0$ и $y=0$.
• Ветви графика расположены в I и III координатных четвертях, так как коэффициент $k=6$ положителен.

2. Преобразования графика.
Искомый график получается из базового графика $y = \frac{6}{x}$ двумя последовательными сдвигами:

• Сдвиг по горизонтали: Аргумент $x$ заменяется на $(x+3)$. Это соответствует сдвигу графика на 3 единицы влево вдоль оси Ox. В результате этого преобразования мы получаем график функции $y = \frac{6}{x+3}$. Его вертикальная асимптота смещается в $x=-3$.
• Сдвиг по вертикали: Из функции вычитается 2. Это соответствует сдвигу графика на 2 единицы вниз вдоль оси Oy. В результате мы получаем итоговый график $y = \frac{6}{x+3} - 2$. Его горизонтальная асимптота смещается в $y=-2$.

3. Итоговый график и его свойства.
График функции $y = \frac{6}{x+3} - 2$ — это гипербола со следующими характеристиками:

• Центр симметрии: Точка пересечения асимптот $(-3, -2)$.
• Вертикальная асимптота: Прямая $x=-3$.
• Горизонтальная асимптота: Прямая $y=-2$.
• Точки пересечения с осями координат:
  • При $x=0$, $y = \frac{6}{0+3} - 2 = 2 - 2 = 0$. Точка $(0, 0)$.
  • При $y=0$, $0 = \frac{6}{x+3} - 2 \Rightarrow 2 = \frac{6}{x+3} \Rightarrow 2(x+3)=6 \Rightarrow x=0$. Точка $(0, 0)$.
  График проходит через начало координат.
• Дополнительные точки для построения (получены сдвигом точек с графика $y=6/x$):
  $(2, 3) \rightarrow (2-3, 3-2) = (-1, 1)$
  $(-2, -3) \rightarrow (-2-3, -3-2) = (-5, -5)$
  $(3, 2) \rightarrow (3-3, 2-2) = (0, 0)$
  $(-6, -1) \rightarrow (-6-3, -1-2) = (-9, -3)$

Для построения графика необходимо начертить новую систему координат с центром в точке $(-3, -2)$ (провести пунктиром асимптоты $x=-3$ и $y=-2$) и в ней построить гиперболу, используя найденные точки.

Ответ: График функции $y = \frac{6}{x+3} - 2$ является гиперболой, полученной путем сдвига графика функции $y=\frac{6}{x}$ на 3 единицы влево и на 2 единицы вниз. Новые асимптоты графика — прямые $x=-3$ и $y=-2$. График пересекает оси координат в точке $(0, 0)$.