Номер 2.159, страница 130 - гдз по алгебре 9 класс учебник Арефьева, Пирютко

2.159. С помощью каких преобразований графика функции $y = -\\frac{2}{x}$ можно получить график функции:

а) $y = -\\frac{2}{x} - 1;$

б) $y = -\\frac{2}{x+5};$

в) $y = -\\frac{2}{x} + 7;$

г) $y = -\\frac{2}{x-8}?$

Запишите формулу функции, график которой можно получить из графика функции $y = -\\frac{2}{x}$ сдвигом его на 3 единицы влево вдоль оси абсцисс и на 5 единиц вниз вдоль оси ординат.

Для решения задачи используются правила преобразования (параллельного переноса) графика функции $y=f(x)$:

• $y = f(x) + C$: сдвиг графика на $|C|$ единиц вдоль оси ординат (вверх при $C>0$, вниз при $C<0$).
• $y = f(x + C)$: сдвиг графика на $|C|$ единиц вдоль оси абсцисс (влево при $C>0$, вправо при $C<0$, т.к. $x+C=0 \implies x=-C$).

Исходная функция, график которой преобразуется: $y = -\frac{2}{x}$.

а) Чтобы получить график функции $y = -\frac{2}{x} - 1$, необходимо график исходной функции $y = -\frac{2}{x}$ сдвинуть на 1 единицу вниз вдоль оси ординат, так как от всей функции отнимается 1.
Ответ: сдвиг на 1 единицу вниз.

б) Чтобы получить график функции $y = -\frac{2}{x+5}$, необходимо в исходной функции заменить аргумент $x$ на $x+5$. Это соответствует сдвигу графика на 5 единиц влево вдоль оси абсцисс.
Ответ: сдвиг на 5 единиц влево.

в) Чтобы получить график функции $y = -\frac{2}{x} + 7$, необходимо график исходной функции $y = -\frac{2}{x}$ сдвинуть на 7 единиц вверх вдоль оси ординат, так как ко всей функции прибавляется 7.
Ответ: сдвиг на 7 единиц вверх.

г) Чтобы получить график функции $y = -\frac{2}{x-8}$, необходимо в исходной функции заменить аргумент $x$ на $x-8$. Это соответствует сдвигу графика на 8 единиц вправо вдоль оси абсцисс.
Ответ: сдвиг на 8 единиц вправо.

Чтобы записать формулу функции, график которой получается из графика $y = -\frac{2}{x}$ указанными сдвигами, нужно последовательно применить соответствующие преобразования:

1. Сдвиг на 3 единицы влево вдоль оси абсцисс: заменяем аргумент $x$ на $x+3$. Получаем промежуточную функцию: $y = -\frac{2}{x+3}$.
2. Сдвиг на 5 единиц вниз вдоль оси ординат: из полученной на первом шаге функции вычитаем 5. Получаем итоговую функцию: $y = -\frac{2}{x+3} - 5$.

Ответ: $y = -\frac{2}{x+3} - 5$.