Номер 2.160, страница 130 - гдз по алгебре 9 класс учебник Арефьева, Пирютко

2.160. На рисунке 61, а изображен график функции $y = ax^2$ ($a \neq 0$). Среди рисунков 61, б–г выберите изображение графика функции $y = a(x - 2)^2 - 1$.

а) б) В) Г) Рис. 61

Для решения задачи необходимо выполнить несколько шагов: сначала определить параметр $a$ из графика функции $y = ax^2$, а затем проанализировать, как преобразуется этот график в график функции $y = a(x - 2)^2 - 1$.

1. Определение коэффициента $a$

На рисунке 61, а изображен график функции $y = ax^2$. Это парабола с вершиной в начале координат $(0, 0)$. Ветви параболы направлены вниз, значит, коэффициент $a$ отрицательный.

Для нахождения точного значения $a$ выберем на графике (а) точку с целочисленными координатами, например, точку $(2, -4)$. Подставим её координаты в уравнение функции:

$y = ax^2$

$-4 = a \cdot (2)^2$

$-4 = 4a$

$a = \frac{-4}{4} = -1$

Таким образом, исходная функция имеет вид $y = -x^2$.

2. Анализ преобразования графика

Теперь нам нужно найти график функции $y = a(x - 2)^2 - 1$. Подставив найденное значение $a = -1$, получаем искомую функцию:

$y = -(x - 2)^2 - 1$

Этот график получается из графика $y = -x^2$ путем следующих геометрических преобразований:

• Сдвиг на 2 единицы вправо вдоль оси Ox (из-за $(x-2)$).
• Сдвиг на 1 единицу вниз вдоль оси Oy (из-за $-1$).

Вершина исходной параболы находилась в точке $(0, 0)$. После преобразований новая вершина будет в точке $(0+2, 0-1)$, то есть в точке $(2, -1)$.

3. Выбор правильного графика

Теперь сравним полученные координаты вершины с графиками на рисунках б–г.

б) На этом графике вершина параболы находится в точке $(-2, 1)$. Это неверно. Ответ: неверно.

в) На этом графике вершина параболы находится в точке $(2, -1)$. Это полностью соответствует нашим расчетам. Ветви направлены вниз, как и у исходной параболы, поскольку коэффициент $a=-1$ не изменился. Ответ: верно.

г) На этом графике вершина параболы находится в точке $(-2, -1)$. Это неверно. Ответ: неверно.

Следовательно, искомый график изображен на рисунке в.