Номер 2.158, страница 129 - гдз по алгебре 9 класс учебник Арефьева, Пирютко

2.158. Используя правила преобразования графиков, запишите формулы функций, графики которых изображены на рисунке 60, если они получены из графика функции $y = \sqrt{x}$ сдвигом его вдоль координатных осей.

1) $y = \sqrt{x+3}$

2) $y = \sqrt{x-2}$

3) $y = \sqrt{x}-3$

Рис. 60

Для того чтобы записать формулы функций, графики которых изображены на рисунке, необходимо применить правила преобразования графиков. Все указанные графики получены путем сдвига (параллельного переноса) графика базовой функции $y = \sqrt{x}$ вдоль координатных осей. Общая формула для функции, полученной таким преобразованием, имеет вид:

Здесь $a$ представляет собой величину сдвига вдоль оси абсцисс (Ox), а $b$ — величину сдвига вдоль оси ординат (Oy). Начальная точка (вершина) графика функции $y = \sqrt{x}$ находится в начале координат, в точке $(0, 0)$. Соответственно, после сдвига на вектор $(a, b)$, новая начальная точка графика будет иметь координаты $(a, b)$. Определим эти координаты для каждого из графиков и подставим их в общую формулу.

1) График под номером 1 (синяя линия) начинается в точке с координатами $(-3, 1)$. Это означает, что график базовой функции был сдвинут на 3 единицы влево по оси Ox (следовательно, $a = -3$) и на 1 единицу вверх по оси Oy (следовательно, $b = 1$). Подставив эти значения в общую формулу, получаем: $y = \sqrt{x - (-3)} + 1$, что упрощается до $y = \sqrt{x + 3} + 1$. Для проверки можно взять точку на графике, например, $(1, 3)$. Подставим $x=1$ в формулу: $y = \sqrt{1 + 3} + 1 = \sqrt{4} + 1 = 2 + 1 = 3$. Значение совпадает, формула верна. Ответ: $y = \sqrt{x + 3} + 1$

2) График под номером 2 (красная линия) начинается в точке с координатами $(2, 0)$. Это означает, что график был сдвинут на 2 единицы вправо по оси Ox ($a = 2$), а сдвиг по оси Oy отсутствует ($b = 0$). Подставляя эти значения в формулу, получаем: $y = \sqrt{x - 2} + 0$, что равносильно $y = \sqrt{x - 2}$. Для проверки возьмем точку на графике $(6, 2)$. Подставим $x=6$ в формулу: $y = \sqrt{6 - 2} = \sqrt{4} = 2$. Значение совпадает, формула верна. Ответ: $y = \sqrt{x - 2}$

3) График под номером 3 (серая линия) начинается в точке с координатами $(0, -4)$. Это означает, что сдвиг по оси Ox отсутствует ($a = 0$), а по оси Oy график сдвинут на 4 единицы вниз ($b = -4$). Подставляя эти значения в формулу, получаем: $y = \sqrt{x - 0} - 4$, что равносильно $y = \sqrt{x} - 4$. Для проверки возьмем точку на графике $(4, -2)$. Подставим $x=4$ в формулу: $y = \sqrt{4} - 4 = 2 - 4 = -2$. Значение совпадает, формула верна. Ответ: $y = \sqrt{x} - 4$