Номер 2.162, страница 130 - гдз по алгебре 9 класс учебник Арефьева, Пирютко

2.162. В одной системе координат постройте графики функций:

а) $y = \sqrt{x}$;

б) $y = \sqrt{x + 2}$;

в) $y = \sqrt{x - 3}$;

г) $y = \sqrt{x + 1} - 4$;

д) $y = \sqrt{x - 5} + 1.

Для построения графиков всех заданных функций в одной системе координат мы будем исходить из графика базовой функции $y = \sqrt{x}$ и применять к нему преобразования сдвига (параллельного переноса).

Базовая функция: $y = \sqrt{x}$

Это ветвь параболы, которая начинается в точке (0, 0) и проходит через точки (1, 1), (4, 2), (9, 3) и так далее.

Общий вид функций, которые мы будем строить, это $y = \sqrt{x-h} + k$. График такой функции получается из графика $y = \sqrt{x}$ путем сдвига:

• на $h$ единиц по горизонтали (вправо, если $h>0$, и влево, если $h<0$);
• на $k$ единиц по вертикали (вверх, если $k>0$, и вниз, если $k<0$).

При этом начальная точка графика (вершина) смещается из (0, 0) в точку $(h, k)$.

Это базовая функция. Ее график строится по точкам.

• Начальная точка: (0, 0).
• Другие точки: (1, 1), (4, 2), (9, 3).

Ответ: График функции $y=\sqrt{x}$ — это стандартная ветвь параболы, выходящая из начала координат (0, 0).

Данную функцию можно представить в виде $y=\sqrt{x-(-2)} + 0$. Здесь $h=-2$, $k=0$. Следовательно, это график функции $y=\sqrt{x}$, сдвинутый на 2 единицы влево вдоль оси Ox.

• Начальная точка: (-2, 0).
• Другие точки (получаются сдвигом точек базового графика): (-1, 1), (2, 2), (7, 3).

Ответ: График функции $y=\sqrt{x+2}$ получается сдвигом графика $y=\sqrt{x}$ на 2 единицы влево. Начальная точка — (-2, 0).

Данную функцию можно представить в виде $y=\sqrt{x-3} + 0$. Здесь $h=3$, $k=0$. Следовательно, это график функции $y=\sqrt{x}$, сдвинутый на 3 единицы вправо вдоль оси Ox.

• Начальная точка: (3, 0).
• Другие точки (получаются сдвигом точек базового графика): (4, 1), (7, 2), (12, 3).

Ответ: График функции $y=\sqrt{x-3}$ получается сдвигом графика $y=\sqrt{x}$ на 3 единицы вправо. Начальная точка — (3, 0).

Данную функцию можно представить в виде $y=\sqrt{x-(-1)} - 4$. Здесь $h=-1$, $k=-4$. Следовательно, это график функции $y=\sqrt{x}$, сдвинутый на 1 единицу влево вдоль оси Ox и на 4 единицы вниз вдоль оси Oy.

• Начальная точка: (-1, -4).
• Другие точки (получаются сдвигом точек базового графика): (0, -3), (3, -2), (8, -1).

Ответ: График функции $y=\sqrt{x+1}-4$ получается сдвигом графика $y=\sqrt{x}$ на 1 единицу влево и на 4 единицы вниз. Начальная точка — (-1, -4).

В данной функции $h=5$, $k=1$. Следовательно, это график функции $y=\sqrt{x}$, сдвинутый на 5 единиц вправо вдоль оси Ox и на 1 единицу вверх вдоль оси Oy.

• Начальная точка: (5, 1).
• Другие точки (получаются сдвигом точек базового графика): (6, 2), (9, 3), (14, 4).

Ответ: График функции $y=\sqrt{x-5}+1$ получается сдвигом графика $y=\sqrt{x}$ на 5 единиц вправо и на 1 единицу вверх. Начальная точка — (5, 1).

Итоговое построение:

Чтобы построить все графики в одной системе координат, нужно:

1. Нарисовать координатные оси Ox и Oy.
2. Построить график базовой функции а) $y=\sqrt{x}$, отметив точки (0,0), (1,1), (4,2).
3. Для каждой следующей функции определить ее начальную точку $(h,k)$ и построить график, сдвинув базовый график соответствующим образом.

В результате на плоскости получится семейство одинаковых по форме кривых, смещенных друг относительно друга.