Номер 2.166, страница 131 - гдз по алгебре 9 класс учебник Арефьева, Пирютко

2.166. С помощью преобразований графика функции $y = x^2$ постройте графики функций, предварительно представив их в виде $y = (x - m)^2 + n:$

а) $y = x^2 - 4x + 4$;

б) $y = x^2 - 10x + 20$;

в) $y = x^2 + 6x + 10$;

г) $y = x^2 - 8x + 1.

Для построения графиков данных функций, необходимо привести их к каноническому виду $y = (x - m)^2 + n$ путем выделения полного квадрата. График такой функции представляет собой параболу $y = x^2$, смещенную на $m$ единиц по горизонтали и на $n$ единиц по вертикали. Вершина параболы находится в точке с координатами $(m, n)$.

Данное выражение является полным квадратом разности, так как соответствует формуле $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.

$y = x^2 - 2 \cdot x \cdot 2 + 2^2 = (x - 2)^2$.

В каноническом виде: $y = (x - 2)^2 + 0$. Здесь $m=2$, $n=0$.

График этой функции получается из графика $y=x^2$ сдвигом на 2 единицы вправо вдоль оси Ox. Вершина параболы находится в точке $(2, 0)$.

Ответ: $y = (x - 2)^2$. График получен сдвигом графика $y=x^2$ на 2 единицы вправо.

Выделим полный квадрат. Для этого к выражению $x^2 - 10x$ добавим и вычтем квадрат половины коэффициента при $x$, то есть $(\frac{10}{2})^2 = 25$.

$y = (x^2 - 10x + 25) - 25 + 20 = (x - 5)^2 - 5$.

Здесь $m=5$, $n=-5$.

График этой функции получается из графика $y=x^2$ сдвигом на 5 единиц вправо вдоль оси Ox и на 5 единиц вниз вдоль оси Oy. Вершина параболы находится в точке $(5, -5)$.

Ответ: $y = (x - 5)^2 - 5$. График получен сдвигом графика $y=x^2$ на 5 единиц вправо и на 5 единиц вниз.

Выделим полный квадрат. Для этого к выражению $x^2 + 6x$ добавим и вычтем квадрат половины коэффициента при $x$, то есть $(\frac{6}{2})^2 = 9$.

$y = (x^2 + 6x + 9) - 9 + 10 = (x + 3)^2 + 1$.

Здесь $m=-3$ (так как $x+3 = x - (-3)$), $n=1$.

График этой функции получается из графика $y=x^2$ сдвигом на 3 единицы влево вдоль оси Ox и на 1 единицу вверх вдоль оси Oy. Вершина параболы находится в точке $(-3, 1)$.

Ответ: $y = (x + 3)^2 + 1$. График получен сдвигом графика $y=x^2$ на 3 единицы влево и на 1 единицу вверх.

Выделим полный квадрат. Для этого к выражению $x^2 - 8x$ добавим и вычтем квадрат половины коэффициента при $x$, то есть $(\frac{8}{2})^2 = 16$.

$y = (x^2 - 8x + 16) - 16 + 1 = (x - 4)^2 - 15$.

Здесь $m=4$, $n=-15$.

График этой функции получается из графика $y=x^2$ сдвигом на 4 единицы вправо вдоль оси Ox и на 15 единиц вниз вдоль оси Oy. Вершина параболы находится в точке $(4, -15)$.

Ответ: $y = (x - 4)^2 - 15$. График получен сдвигом графика $y=x^2$ на 4 единицы вправо и на 15 единиц вниз.