Номер 2.168, страница 131 - гдз по алгебре 9 класс учебник Арефьева, Пирютко

2.168* График функции $y=f(x)$ получен из графика функции $g(x)=-2x^2$ сдвигом его на 6 единиц вправо вдоль оси абсцисс и на 8 единиц вверх вдоль оси ординат. Найдите нули функции $y=f(x)$.

Чтобы найти нули функции $y = f(x)$, сначала определим вид самой функции $f(x)$, основываясь на преобразованиях графика функции $g(x) = -2x^2$.

1. Получение уравнения функции $f(x)$

Исходная функция: $g(x) = -2x^2$.
Преобразование графика функции $y = h(x)$ путем сдвига на $a$ единиц вправо вдоль оси абсцисс описывается функцией $y = h(x-a)$. В данном случае, сдвиг на 6 единиц вправо означает, что мы заменяем $x$ на $(x-6)$.
Промежуточная функция: $y = -2(x-6)^2$.

Преобразование графика функции $y = k(x)$ путем сдвига на $b$ единиц вверх вдоль оси ординат описывается функцией $y = k(x) + b$. В данном случае, сдвиг на 8 единиц вверх означает, что мы прибавляем 8 ко всей функции.
Итоговая функция $f(x)$ имеет вид:
$f(x) = -2(x-6)^2 + 8$.

2. Нахождение нулей функции $f(x)$

Нули функции – это значения переменной $x$, при которых значение функции равно нулю, т.е. $f(x) = 0$. Составим и решим уравнение:

$-2(x-6)^2 + 8 = 0$

Перенесем слагаемое 8 в правую часть уравнения:

$-2(x-6)^2 = -8$

Разделим обе части уравнения на -2:

$(x-6)^2 = 4$

Извлечем квадратный корень из обеих частей уравнения:

$x-6 = \pm\sqrt{4}$

$x-6 = \pm2$

Это приводит к двум линейным уравнениям:

1) $x - 6 = 2 \implies x_1 = 2 + 6 = 8$

2) $x - 6 = -2 \implies x_2 = -2 + 6 = 4$

Таким образом, функция $y=f(x)$ имеет два нуля.

Первый нуль Ответ: 4
Второй нуль Ответ: 8