Номер 2.163, страница 130 - гдз по алгебре 9 класс учебник Арефьева, Пирютко

2.163. На рисунке 62 изображен график функции $y = f(x)$. Перенесите рисунок в тетрадь и постройте график функции:

Рис. 62

а) $y = f(x + 4);$

б) $y = f(x - 2);$

в) $y = f(x) + 3;

г) $y = f(x) - 5.$

Для построения графиков функций, полученных из графика $y = f(x)$, используются правила преобразования графиков, а именно параллельный перенос (сдвиг) вдоль осей координат.

Сначала определим координаты нескольких характерных точек исходного графика $y = f(x)$:

• Начальная точка: $(-9, -5)$
• Точка локального максимума: $(-4, 5)$
• Точка пересечения с осью Ox: $(-1, 0)$
• Точка пересечения с осью Oy: $(0, 2)$
• Точка локального минимума: $(4, -3)$
• Конечная точка: $(8, 4)$

а) y = f(x + 4);

Преобразование вида $y = f(x + a)$ соответствует сдвигу графика функции $y = f(x)$ вдоль оси абсцисс (Ox). Если $a > 0$, сдвиг происходит влево на $a$ единиц. В нашем случае $a = 4$, поэтому график нужно сдвинуть на 4 единицы влево.

Каждая точка $(x, y)$ исходного графика переместится в точку $(x - 4, y)$. Найдем новые координаты для характерных точек:

• $(-9, -5) \rightarrow (-9 - 4, -5) = (-13, -5)$
• $(-4, 5) \rightarrow (-4 - 4, 5) = (-8, 5)$
• $(-1, 0) \rightarrow (-1 - 4, 0) = (-5, 0)$
• $(0, 2) \rightarrow (0 - 4, 2) = (-4, 2)$
• $(4, -3) \rightarrow (4 - 4, -3) = (0, -3)$
• $(8, 4) \rightarrow (8 - 4, 4) = (4, 4)$

Соединив новые точки плавной линией, получим искомый график.

Ответ: для построения графика функции $y = f(x + 4)$ необходимо сдвинуть график функции $y = f(x)$ на 4 единицы влево вдоль оси Ox.

б) y = f(x - 2);

Преобразование вида $y = f(x - a)$ соответствует сдвигу графика функции $y = f(x)$ вдоль оси абсцисс (Ox). Если $a > 0$, сдвиг происходит вправо на $a$ единиц. В нашем случае $a = 2$, поэтому график нужно сдвинуть на 2 единицы вправо.

Каждая точка $(x, y)$ исходного графика переместится в точку $(x + 2, y)$. Найдем новые координаты для характерных точек:

• $(-9, -5) \rightarrow (-9 + 2, -5) = (-7, -5)$
• $(-4, 5) \rightarrow (-4 + 2, 5) = (-2, 5)$
• $(-1, 0) \rightarrow (-1 + 2, 0) = (1, 0)$
• $(0, 2) \rightarrow (0 + 2, 2) = (2, 2)$
• $(4, -3) \rightarrow (4 + 2, -3) = (6, -3)$
• $(8, 4) \rightarrow (8 + 2, 4) = (10, 4)$

Соединив новые точки плавной линией, получим искомый график.

Ответ: для построения графика функции $y = f(x - 2)$ необходимо сдвинуть график функции $y = f(x)$ на 2 единицы вправо вдоль оси Ox.

в) y = f(x) + 3;

Преобразование вида $y = f(x) + b$ соответствует сдвигу графика функции $y = f(x)$ вдоль оси ординат (Oy). Если $b > 0$, сдвиг происходит вверх на $b$ единиц. В нашем случае $b = 3$, поэтому график нужно сдвинуть на 3 единицы вверх.

Каждая точка $(x, y)$ исходного графика переместится в точку $(x, y + 3)$. Найдем новые координаты для характерных точек:

• $(-9, -5) \rightarrow (-9, -5 + 3) = (-9, -2)$
• $(-4, 5) \rightarrow (-4, 5 + 3) = (-4, 8)$
• $(-1, 0) \rightarrow (-1, 0 + 3) = (-1, 3)$
• $(0, 2) \rightarrow (0, 2 + 3) = (0, 5)$
• $(4, -3) \rightarrow (4, -3 + 3) = (4, 0)$
• $(8, 4) \rightarrow (8, 4 + 3) = (8, 7)$

Соединив новые точки плавной линией, получим искомый график.

Ответ: для построения графика функции $y = f(x) + 3$ необходимо сдвинуть график функции $y = f(x)$ на 3 единицы вверх вдоль оси Oy.

г) y = f(x) - 5.

Преобразование вида $y = f(x) - b$ соответствует сдвигу графика функции $y = f(x)$ вдоль оси ординат (Oy). Если $b > 0$, сдвиг происходит вниз на $b$ единиц. В нашем случае $b = 5$, поэтому график нужно сдвинуть на 5 единиц вниз.

Каждая точка $(x, y)$ исходного графика переместится в точку $(x, y - 5)$. Найдем новые координаты для характерных точек:

• $(-9, -5) \rightarrow (-9, -5 - 5) = (-9, -10)$
• $(-4, 5) \rightarrow (-4, 5 - 5) = (-4, 0)$
• $(-1, 0) \rightarrow (-1, 0 - 5) = (-1, -5)$
• $(0, 2) \rightarrow (0, 2 - 5) = (0, -3)$
• $(4, -3) \rightarrow (4, -3 - 5) = (4, -8)$
• $(8, 4) \rightarrow (8, 4 - 5) = (8, -1)$

Соединив новые точки плавной линией, получим искомый график.

Ответ: для построения графика функции $y = f(x) - 5$ необходимо сдвинуть график функции $y = f(x)$ на 5 единиц вниз вдоль оси Oy.