Номер 2.164, страница 131 - гдз по алгебре 9 класс учебник Арефьева, Пирютко

2.164. С помощью преобразований графика функции $y = f(x)$, изображенного на рисунке 63, постройте график функции:

а) $y = f(x - 3) + 2$;

б) $y = f(x + 4) - 1$.

Рис. 63

Для построения требуемых графиков воспользуемся правилами преобразования графика функции $y = f(x)$.

График функции $y = f(x - a) + b$ можно получить из графика функции $y = f(x)$ с помощью параллельного переноса (сдвига):

• на $a$ единиц по горизонтали (вправо, если $a > 0$, и влево, если $a < 0$);
• на $b$ единиц по вертикали (вверх, если $b > 0$, и вниз, если $b < 0$).

Ключевыми точками исходного графика $y = f(x)$ являются его вершины (точки излома). По рисунку их координаты:

• Точка локального минимума: $(-2, -4)$.
• Точка локального максимума: $(2, 2)$.

Применим соответствующие сдвиги к этим точкам, чтобы найти их новое положение.

а) Для функции $y = f(x - 3) + 2$ имеем $a = 3$ и $b = 2$. Это означает, что исходный график нужно сдвинуть на 3 единицы вправо и на 2 единицы вверх.

Вычислим новые координаты вершин:

• Новая точка минимума: $(-2 + 3, -4 + 2) = (1, -2)$.
• Новая точка максимума: $(2 + 3, 2 + 2) = (5, 4)$.

Ответ: Чтобы построить график функции $y = f(x - 3) + 2$, необходимо сдвинуть исходный график на 3 единицы вправо и на 2 единицы вверх. Вершины нового графика будут в точках $(1, -2)$ и $(5, 4)$.

б) Для функции $y = f(x + 4) - 1$, которую можно записать как $y = f(x - (-4)) - 1$, имеем $a = -4$ и $b = -1$. Это означает, что исходный график нужно сдвинуть на 4 единицы влево и на 1 единицу вниз.

Вычислим новые координаты вершин:

• Новая точка минимума: $(-2 - 4, -4 - 1) = (-6, -5)$.
• Новая точка максимума: $(2 - 4, 2 - 1) = (-2, 1)$.

Ответ: Чтобы построить график функции $y = f(x + 4) - 1$, необходимо сдвинуть исходный график на 4 единицы влево и на 1 единицу вниз. Вершины нового графика будут в точках $(-6, -5)$ и $(-2, 1)$.