Номер 2.161, страница 130 - гдз по алгебре 9 класс учебник Арефьева, Пирютко

2.161. Примените правила преобразования к графику функции $y = x^2$ и постройте график функции:

а) $y=(x-3)^2$;

б) $y=x^2 + 4$;

в) $y=(x+2)^2 - 1$.

Для построения графиков заданных функций мы будем использовать правила преобразования графика базовой параболы $y=x^2$. Вершина этой параболы находится в точке $(0,0)$, а ветви направлены вверх.

а) $y = (x-3)^2$

Чтобы построить график функции $y=(x-3)^2$, мы применим правило горизонтального сдвига к графику базовой функции $y=x^2$.

Функция $y=(x-3)^2$ соответствует виду $y=f(x-c)$, где $f(x)=x^2$ и $c=3$.

Согласно правилу преобразований, если $c > 0$, график сдвигается на $c$ единиц вправо. В нашем случае $c=3$, поэтому мы сдвигаем параболу $y=x^2$ на 3 единицы вправо вдоль оси Ox.

Вершина параболы $y=x^2$ находится в точке $(0,0)$. Для новой функции $y=(x-3)^2$ вершина сместится в точку $(0+3, 0) = (3,0)$. Ось симметрии параболы сместится с $x=0$ на $x=3$.

Найдем несколько точек для построения графика:

Ответ: График функции $y=(x-3)^2$ — это парабола, полученная сдвигом графика функции $y=x^2$ на 3 единицы вправо.

б) $y = x^2 + 4$

Чтобы построить график функции $y=x^2+4$, мы применим правило вертикального сдвига к графику базовой функции $y=x^2$.

Функция $y=x^2+4$ соответствует виду $y=f(x)+d$, где $f(x)=x^2$ и $d=4$.

Согласно правилу преобразований, если $d > 0$, график сдвигается на $d$ единиц вверх. В нашем случае $d=4$, поэтому мы сдвигаем параболу $y=x^2$ на 4 единицы вверх вдоль оси Oy.

Вершина параболы $y=x^2$ находится в точке $(0,0)$. Для новой функции $y=x^2+4$ вершина сместится в точку $(0, 0+4) = (0,4)$. Ось симметрии параболы останется прежней: $x=0$.

Найдем несколько точек для построения графика:

Ответ: График функции $y=x^2+4$ — это парабола, полученная сдвигом графика функции $y=x^2$ на 4 единицы вверх.

в) $y = (x+2)^2 - 1$

Чтобы построить график функции $y=(x+2)^2-1$, мы применим правила горизонтального и вертикального сдвигов к графику базовой функции $y=x^2$.

Функция $y=(x+2)^2-1$ может быть представлена в виде $y=f(x-c)+d$, где $f(x)=x^2$, $c=-2$ и $d=-1$.

Преобразование состоит из двух шагов:

1. Горизонтальный сдвиг: Выражение $(x+2)^2$ соответствует сдвигу графика $y=x^2$ на 2 единицы влево (так как $x+2 = x-(-2)$, то $c=-2$).
2. Вертикальный сдвиг: Вычитание 1 ($-1$) соответствует сдвигу полученного графика на 1 единицу вниз (так как $d=-1$).

Вершина параболы $y=x^2$ находится в точке $(0,0)$. Для новой функции $y=(x+2)^2-1$ вершина сместится в точку $(0-2, 0-1) = (-2,-1)$. Ось симметрии параболы сместится на $x=-2$.

Найдем несколько точек для построения графика:

Ответ: График функции $y=(x+2)^2-1$ — это парабола, полученная сдвигом графика функции $y=x^2$ на 2 единицы влево и на 1 единицу вниз.