Номер 2.170, страница 132 - гдз по алгебре 9 класс учебник Арефьева, Пирютко

2.170* Известно, что функция $y=f(x)$ является четной.

Верно ли, что четной является функция $y=f(x)+b$, где $b \neq 0$?

Чтобы определить, является ли функция $y = f(x) + b$ четной, необходимо проверить выполнение двух условий из определения четной функции.

Функция $h(x)$ называется четной, если:

1. Ее область определения $D(h)$ симметрична относительно нуля (т.е. если $x \in D(h)$, то и $-x \in D(h)$).
2. Для любого $x$ из области определения выполняется равенство $h(-x) = h(x)$.

По условию задачи, функция $y = f(x)$ является четной. Это означает, что ее область определения $D(f)$ симметрична, и для любого $x$ из этой области выполняется равенство $f(-x) = f(x)$.

Рассмотрим новую функцию, обозначив ее как $g(x) = f(x) + b$. Проверим для нее оба условия:

1. Область определения. Область определения функции $g(x)$ совпадает с областью определения функции $f(x)$, так как $b$ — это константа. Поскольку $D(f)$ симметрична по условию, то и $D(g)$ также симметрична. Первое условие выполнено.

2. Проверка равенства. Найдем значение функции $g(x)$ в точке $-x$:

$g(-x) = f(-x) + b$

Так как мы знаем, что функция $f(x)$ четная, то $f(-x) = f(x)$. Подставим это в наше выражение:

$g(-x) = f(x) + b$

Теперь сравним полученное выражение с $g(x) = f(x) + b$. Мы видим, что они равны:

$g(-x) = g(x)$

Второе условие также выполнено.

Поскольку для функции $y = f(x) + b$ выполняются оба условия, она является четной. Условие $b \ne 0$ не влияет на четность функции.

Ответ: Да, верно.