Номер 2.152, страница 128 - гдз по алгебре 9 класс учебник Арефьева, Пирютко

2.152*. Можно ли определить, является ли функция:

a) $y = f(x) + 8$;

б) $y = f(x) - 3$;

в) $y = f(x + 7)$;

г) $y = f(x - 2)$ — четной, если известно, что функция $y = f(x)$ является четной?

По определению, функция $y=g(x)$ является четной, если для любого $x$ из ее области определения выполняется два условия:
1. Область определения симметрична относительно $x=0$ (если $x$ принадлежит области определения, то и $-x$ принадлежит ей).
2. $g(-x) = g(x)$.
Нам дано, что функция $y=f(x)$ является четной, то есть $f(-x) = f(x)$, и ее область определения симметрична.

а) $y = f(x) + 8$
Обозначим новую функцию как $g(x) = f(x) + 8$.
1. Область определения функции $g(x)$ совпадает с областью определения $f(x)$, поэтому она симметрична.
2. Проверим второе условие: $g(-x) = f(-x) + 8$. Так как $f(x)$ — четная функция, то $f(-x) = f(x)$. Следовательно, $g(-x) = f(x) + 8$. А это и есть исходная функция $g(x)$. Таким образом, $g(-x) = g(x)$.
Оба условия выполняются. Функция всегда будет четной.
Ответ: Да.

б) $y = f(x) - 3$
Обозначим новую функцию как $g(x) = f(x) - 3$.
1. Область определения функции $g(x)$ совпадает с областью определения $f(x)$, поэтому она симметрична.
2. Проверим второе условие: $g(-x) = f(-x) - 3$. Так как $f(x)$ — четная функция, то $f(-x) = f(x)$. Следовательно, $g(-x) = f(x) - 3 = g(x)$.
Оба условия выполняются. Функция всегда будет четной.
Ответ: Да.

в) $y = f(x + 7)$
Обозначим новую функцию как $g(x) = f(x + 7)$.
Проверим, будет ли эта функция всегда четной. Для этого рассмотрим два примера для четной функции $f(x)$.
1. Пусть $f(x) = c$ (константа). Это четная функция. Тогда $g(x) = f(x + 7) = c$. Функция $g(x)=c$ также является четной.
2. Пусть $f(x) = x^2$. Это четная функция. Тогда $g(x) = f(x + 7) = (x+7)^2 = x^2 + 14x + 49$. Проверим $g(x)$ на четность: $g(-x) = (-x+7)^2 = x^2 - 14x + 49$. Здесь $g(-x) \neq g(x)$ (кроме случая $x=0$), значит, функция не является четной.
Поскольку в одном случае результат — четная функция, а в другом — нет, то на основании того, что $f(x)$ является четной, однозначно определить четность функции $y = f(x + 7)$ невозможно.
Ответ: Нет.

г) $y = f(x - 2)$
Обозначим новую функцию как $g(x) = f(x - 2)$.
Рассуждения аналогичны пункту в). Горизонтальный сдвиг графика четной функции (отличной от константы) нарушает ее симметрию относительно оси $OY$.
1. Пусть $f(x) = c$ (константа). Это четная функция. Тогда $g(x) = f(x - 2) = c$. Функция $g(x)=c$ является четной.
2. Пусть $f(x) = x^2$. Это четная функция. Тогда $g(x) = f(x - 2) = (x-2)^2 = x^2 - 4x + 4$. Проверим $g(x)$ на четность: $g(-x) = (-x-2)^2 = (x+2)^2 = x^2 + 4x + 4$. Здесь $g(-x) \neq g(x)$ (кроме случая $x=0$), значит, функция не является четной.
Поскольку результат зависит от конкретного вида функции $f(x)$, однозначно определить четность функции $y = f(x - 2)$ невозможно.
Ответ: Нет.