Номер 2.150, страница 128 - гдз по алгебре 9 класс учебник Арефьева, Пирютко

2.150*. Функция $y = f(x)$ определена на множестве действительных чисел и $E(f) = [-1; 7]$. Найдите множество значений функции:

а) $y = f(x - 2);$

б) $y = f(x) + 4;$

в) $y = f(x - 1) - 3;$

г) $y = f(x - 3) + 5$.

По условию, множество значений (область значений) функции $y = f(x)$ — это отрезок $E(f) = [-1; 7]$. Это означает, что для любого действительного числа $x$, значение $f(x)$ находится в пределах от -1 до 7 включительно. Это можно записать в виде двойного неравенства: $$-1 \le f(x) \le 7$$ Чтобы найти множество значений для преобразованных функций, мы будем использовать это неравенство и правила преобразования графиков функций.

а) $y = f(x - 2)$
Преобразование вида $f(x - c)$ представляет собой горизонтальный сдвиг графика функции $f(x)$ вдоль оси Ox. В данном случае, это сдвиг на 2 единицы вправо. Горизонтальный сдвиг не изменяет множество значений функции, так как все значения по оси Oy остаются прежними, меняются лишь значения $x$, при которых они достигаются. Таким образом, множество значений функции $y = f(x - 2)$ совпадает с множеством значений исходной функции $y = f(x)$.
Ответ: $E(y) = [-1; 7]$.

б) $y = f(x) + 4$
Преобразование вида $f(x) + d$ представляет собой вертикальный сдвиг графика функции $f(x)$ вдоль оси Oy. В данном случае, это сдвиг на 4 единицы вверх. При таком сдвиге каждое значение функции увеличивается на 4. Возьмем исходное неравенство для $f(x)$: $$-1 \le f(x) \le 7$$ Прибавим 4 ко всем частям неравенства: $$-1 + 4 \le f(x) + 4 \le 7 + 4$$ $$3 \le y \le 11$$ Следовательно, новое множество значений — это отрезок $[3; 11]$.
Ответ: $E(y) = [3; 11]$.

в) $y = f(x - 1) - 3$
Здесь происходит комбинация двух преобразований: горизонтальный сдвиг на 1 единицу вправо ($f(x - 1)$) и вертикальный сдвиг на 3 единицы вниз ($-3$). 1. Горизонтальный сдвиг не меняет множество значений, поэтому для $f(x - 1)$ оно остается $[-1; 7]$. $$-1 \le f(x - 1) \le 7$$ 2. Вертикальный сдвиг на 3 единицы вниз означает, что мы должны вычесть 3 из каждого значения. Вычтем 3 из всех частей неравенства: $$-1 - 3 \le f(x - 1) - 3 \le 7 - 3$$ $$-4 \le y \le 4$$ Следовательно, новое множество значений — это отрезок $[-4; 4]$.
Ответ: $E(y) = [-4; 4]$.

г) $y = f(x - 3) + 5$
Здесь также два преобразования: горизонтальный сдвиг на 3 единицы вправо ($f(x - 3)$) и вертикальный сдвиг на 5 единиц вверх ($+5$). 1. Горизонтальный сдвиг не влияет на множество значений, оно остается $[-1; 7]$ для $f(x-3)$. $$-1 \le f(x - 3) \le 7$$ 2. Вертикальный сдвиг на 5 единиц вверх означает, что мы должны прибавить 5 к каждому значению. Прибавим 5 ко всем частям неравенства: $$-1 + 5 \le f(x - 3) + 5 \le 7 + 5$$ $$4 \le y \le 12$$ Следовательно, новое множество значений — это отрезок $[4; 12]$.
Ответ: $E(y) = [4; 12]$.