Номер 2.145, страница 127 - гдз по алгебре 9 класс учебник Арефьева, Пирютко

2.145. С помощью преобразований графика функции $y=f(x)$, изображенного на рисунке 59, постройте график функции:

а) $y=f(x+4)-3;$

б) $y=f(x-2)+5.$

Рис. 59

Для построения графиков функций, основанных на преобразовании исходного графика $y=f(x)$, используются правила параллельного переноса (сдвига) графика вдоль осей координат. График функции $y = f(x-a) + b$ получается из графика функции $y = f(x)$ путем его сдвига на $a$ единиц по горизонтали (вправо при $a > 0$ и влево при $a < 0$) и на $b$ единиц по вертикали (вверх при $b > 0$ и вниз при $b < 0$).

Проанализируем исходный график $y=f(x)$. Он имеет следующие характерные точки:

• Локальный максимум в точке $(-2, 4)$.
• Локальный минимум в точке $(2, -4)$.
• Точки пересечения с осью абсцисс (нули функции): $(-4, 0)$, $(0, 0)$, $(4, 0)$.

Будем отслеживать перемещение этих точек для построения новых графиков.

Данное преобразование можно представить в виде $y = f(x - (-4)) + (-3)$. Здесь $a = -4$ и $b = -3$.

Это означает, что исходный график функции $y=f(x)$ необходимо:

1. Сдвинуть на 4 единицы влево вдоль оси Ox (так как $a = -4$).
2. Сдвинуть на 3 единицы вниз вдоль оси Oy (так как $b = -3$).

Найдем новые координаты характерных точек:

• Точка максимума $(-2, 4)$ переместится в точку $(-2 - 4, 4 - 3) = (-6, 1)$.
• Точка минимума $(2, -4)$ переместится в точку $(2 - 4, -4 - 3) = (-2, -7)$.
• Нули функции $(-4, 0)$, $(0, 0)$, $(4, 0)$ переместятся в точки:
  • $(-4 - 4, 0 - 3) = (-8, -3)$
  • $(0 - 4, 0 - 3) = (-4, -3)$
  • $(4 - 4, 0 - 3) = (0, -3)$

Соединив новые точки плавной кривой, аналогичной исходной, мы получим график функции $y = f(x + 4) - 3$.

Ответ: График функции $y=f(x)$ необходимо сместить на 4 единицы влево вдоль оси абсцисс и на 3 единицы вниз вдоль оси ординат.

В данном случае $a = 2$ и $b = 5$.

Это означает, что исходный график функции $y=f(x)$ необходимо:

1. Сдвинуть на 2 единицы вправо вдоль оси Ox (так как $a = 2$).
2. Сдвинуть на 5 единиц вверх вдоль оси Oy (так как $b = 5$).

Найдем новые координаты характерных точек:

• Точка максимума $(-2, 4)$ переместится в точку $(-2 + 2, 4 + 5) = (0, 9)$.
• Точка минимума $(2, -4)$ переместится в точку $(2 + 2, -4 + 5) = (4, 1)$.
• Нули функции $(-4, 0)$, $(0, 0)$, $(4, 0)$ переместятся в точки:
  • $(-4 + 2, 0 + 5) = (-2, 5)$
  • $(0 + 2, 0 + 5) = (2, 5)$
  • $(4 + 2, 0 + 5) = (6, 5)$

Соединив новые точки плавной кривой, аналогичной исходной, мы получим график функции $y = f(x - 2) + 5$.

Ответ: График функции $y=f(x)$ необходимо сместить на 2 единицы вправо вдоль оси абсцисс и на 5 единиц вверх вдоль оси ординат.