Номер 2.146, страница 127 - гдз по алгебре 9 класс учебник Арефьева, Пирютко

2.146. Выберите функцию, график которой получен из графика функции $y = \frac{8}{x}$ сдвигом его на 2 единицы вправо вдоль оси абсцисс и на 3 единицы вверх вдоль оси ординат:

а) $y = \frac{8}{x+2} + 3;$

б) $y = \frac{8}{x-2} + 3;$

в) $y = \frac{8}{x+3} - 2;$

г) $y = \frac{8}{x+2} - 3;$

д) $y = \frac{8}{x-3} + 2.$

Постройте график этой функции.

Для того чтобы определить, какая из предложенных функций соответствует заданным преобразованиям, необходимо вспомнить правила сдвига графика функции.

Выбор функции

Исходная функция — это $y = \frac{8}{x}$. Графиком этой функции является гипербола с центром в начале координат (0,0) и асимптотами, совпадающими с осями координат ($x=0$ и $y=0$).

В задаче указаны следующие преобразования:

1. Сдвиг на 2 единицы вправо вдоль оси абсцисс (Ox).
   Чтобы сдвинуть график функции $f(x)$ на $c$ единиц вправо, необходимо аргумент $x$ заменить на $(x-c)$. В нашем случае $c=2$, поэтому функция преобразуется к виду $y = \frac{8}{x-2}$. Вертикальная асимптота смещается в точку $x=2$.
2. Сдвиг на 3 единицы вверх вдоль оси ординат (Oy).
   Чтобы сдвинуть график функции на $d$ единиц вверх, необходимо ко всей функции прибавить $d$. В нашем случае $d=3$, поэтому итоговая функция будет иметь вид $y = \frac{8}{x-2} + 3$. Горизонтальная асимптота смещается в точку $y=3$.

Полученное уравнение $y = \frac{8}{x-2} + 3$ соответствует варианту, предложенному в подпункте б).

б) $y = \frac{8}{x-2} + 3$ Ответ: Это искомая функция, график которой получен указанным сдвигом.

Построение графика функции $y = \frac{8}{x-2} + 3$

Для построения графика выполним следующие шаги:

1. Определяем положение асимптот.
   Как мы выяснили, центр гиперболы сместился в точку (2, 3). Следовательно, асимптотами будут прямые:
   • Вертикальная асимптота: $x = 2$
   • Горизонтальная асимптота: $y = 3$
2. Вычисляем координаты нескольких точек графика.
   Для точности построения найдем значения функции для нескольких значений $x$, расположенных по обе стороны от вертикальной асимптоты.

   $x$	$y = \frac{8}{x-2} + 3$	Точка $(x,y)$
   -6	$\frac{8}{-8} + 3 = 2$	(-6, 2)
   -2	$\frac{8}{-4} + 3 = 1$	(-2, 1)
   0	$\frac{8}{-2} + 3 = -1$	(0, -1)
   1	$\frac{8}{-1} + 3 = -5$	(1, -5)
   2	не сущ.	(асимптота)
   3	$\frac{8}{1} + 3 = 11$	(3, 11)
   4	$\frac{8}{2} + 3 = 7$	(4, 7)
   6	$\frac{8}{4} + 3 = 5$	(6, 5)
   10	$\frac{8}{8} + 3 = 4$	(10, 4)

3. Строим график.
   На координатной плоскости изображаем асимптоты (пунктирными линиями), отмечаем вычисленные точки и соединяем их двумя плавными кривыми — ветвями гиперболы.