Номер 2.143, страница 127 - гдз по алгебре 9 класс учебник Арефьева, Пирютко

2.143. В одной системе координат постройте графики

функций:

а) $f(x) = |x|$;

б) $f(x) = |x - 2|$;

в) $f(x) = |x + 3|$;

г) $f(x) = |x| - 4$;

д) $f(x) = |x| + 1$;

е) $f(x) = |x - 4| + 3$.

Для построения графиков данных функций мы будем использовать преобразования базового графика функции модуля $y = |x|$. График функции $y = |x|$ представляет собой два луча, сходящихся в точке $(0, 0)$, которая является вершиной графика. Эти лучи задаются уравнениями $y = x$ для $x \ge 0$ и $y = -x$ для $x < 0$.

Все представленные функции являются результатом сдвига (параллельного переноса) базового графика $y = |x|$ по осям координат. Общий вид таких преобразований: $f(x) = |x - h| + k$.

• Смещение по горизонтали (вдоль оси Ox): График функции $y = |x - h|$ получается из графика $y = |x|$ сдвигом на $h$ единиц. Если $h > 0$, сдвиг происходит вправо. Если $h < 0$, сдвиг происходит влево на $|h|$ единиц. Вершина смещается в точку $(h, 0)$.
• Смещение по вертикали (вдоль оси Oy): График функции $y = |x| + k$ получается из графика $y = |x|$ сдвигом на $k$ единиц. Если $k > 0$, сдвиг происходит вверх. Если $k < 0$, сдвиг происходит вниз на $|k|$ единиц. Вершина смещается в точку $(0, k)$.

Рассмотрим каждую функцию отдельно.

а) $f(x) = |x|$

Это основная функция модуля. Её график — это "галочка" с вершиной в начале координат. Для построения можно взять точки $(-1, 1)$, $(0, 0)$, $(1, 1)$.

Ответ: Базовый график функции модуля с вершиной в точке $(0, 0)$. Минимальное значение функции: 0.

б) $f(x) = |x - 2|$

Этот график получается из графика $y = |x|$ путем сдвига вправо на 2 единицы вдоль оси Ox (здесь $h=2$). Вершина графика смещается из $(0, 0)$ в точку $(2, 0)$.

Ответ: График функции $y=|x|$, сдвинутый на 2 единицы вправо. Вершина в точке $(2, 0)$. Минимальное значение функции: 0.

в) $f(x) = |x + 3|$

Этот график можно представить как $f(x) = |x - (-3)|$. Он получается из графика $y = |x|$ путем сдвига влево на 3 единицы вдоль оси Ox (здесь $h=-3$). Вершина графика смещается из $(0, 0)$ в точку $(-3, 0)$.

Ответ: График функции $y=|x|$, сдвинутый на 3 единицы влево. Вершина в точке $(-3, 0)$. Минимальное значение функции: 0.

г) $f(x) = |x| - 4$

Этот график получается из графика $y = |x|$ путем сдвига вниз на 4 единицы вдоль оси Oy (здесь $k=-4$). Вершина графика смещается из $(0, 0)$ в точку $(0, -4)$. График пересекает ось Ox в точках, где $|x|=4$, то есть $x = 4$ и $x = -4$.

Ответ: График функции $y=|x|$, сдвинутый на 4 единицы вниз. Вершина в точке $(0, -4)$. Минимальное значение функции: -4.

д) $f(x) = |x| + 1$

Этот график получается из графика $y = |x|$ путем сдвига вверх на 1 единицу вдоль оси Oy (здесь $k=1$). Вершина графика смещается из $(0, 0)$ в точку $(0, 1)$.

Ответ: График функции $y=|x|$, сдвинутый на 1 единицу вверх. Вершина в точке $(0, 1)$. Минимальное значение функции: 1.

е) $f(x) = |x - 4| + 3$

Этот график получается из графика $y = |x|$ путем двух последовательных сдвигов: на 4 единицы вправо (по оси Ox) и на 3 единицы вверх (по оси Oy). Здесь $h=4$ и $k=3$. Вершина графика смещается из $(0, 0)$ в точку $(4, 3)$.

Ответ: График функции $y=|x|$, сдвинутый на 4 единицы вправо и на 3 единицы вверх. Вершина в точке $(4, 3)$. Минимальное значение функции: 3.