Номер 2.149, страница 128 - гдз по алгебре 9 класс учебник Арефьева, Пирютко

2.149*. График функции $y = f(x)$ получен из графика функции $g_1(x)=-3x^2$ сдвигом его на 3 единицы вправо вдоль оси абсцисс и на 2 единицы вверх вдоль оси ординат. А график функции $y=h(x)$ получен из графика функции $g_2(x) = \frac{1}{2}x^2$ сдвигом его на 4 единицы влево вдоль оси абсцисс и на 1 единицу вниз вдоль оси ординат. Имеют ли общие точки графики функций $y=f(x)$ и $y=h(x)$?

Для ответа на этот вопрос необходимо найти аналитические выражения для функций $f(x)$ и $h(x)$, а затем проверить, имеет ли уравнение $f(x) = h(x)$ действительные корни, которые будут соответствовать абсциссам общих точек.

1. Нахождение уравнения для $y=f(x)$

График функции $y=f(x)$ получен из графика $g_1(x) = -3x^2$ сдвигом его на 3 единицы вправо вдоль оси абсцисс и на 2 единицы вверх вдоль оси ординат.

• Сдвиг вправо на 3 единицы означает замену $x$ на $(x-3)$.
• Сдвиг вверх на 2 единицы означает добавление 2 ко всей функции.

Таким образом, получаем уравнение: $f(x) = -3(x-3)^2 + 2$

2. Нахождение уравнения для $y=h(x)$

График функции $y=h(x)$ получен из графика $g_2(x) = \frac{1}{2}x^2$ сдвигом его на 4 единицы влево вдоль оси абсцисс и на 1 единицу вниз вдоль оси ординат.

• Сдвиг влево на 4 единицы означает замену $x$ на $(x+4)$.
• Сдвиг вниз на 1 единицу означает вычитание 1 из всей функции.

Таким образом, получаем уравнение: $h(x) = \frac{1}{2}(x+4)^2 - 1$

3. Поиск общих точек

Чтобы найти общие точки, приравняем выражения для $f(x)$ и $h(x)$: $f(x) = h(x)$ $-3(x-3)^2 + 2 = \frac{1}{2}(x+4)^2 - 1$

Раскроем скобки и упростим полученное уравнение: $-3(x^2 - 6x + 9) + 2 = \frac{1}{2}(x^2 + 8x + 16) - 1$ $-3x^2 + 18x - 27 + 2 = \frac{1}{2}x^2 + 4x + 8 - 1$ $-3x^2 + 18x - 25 = \frac{1}{2}x^2 + 4x + 7$

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение вида $ax^2 + bx + c = 0$: $0 = \frac{1}{2}x^2 + 3x^2 + 4x - 18x + 7 + 25$ $0 = \frac{7}{2}x^2 - 14x + 32$

Умножим обе части уравнения на 2, чтобы избавиться от дробного коэффициента: $7x^2 - 28x + 64 = 0$

4. Анализ решения

Для определения наличия действительных корней у квадратного уравнения найдем его дискриминант $D = b^2 - 4ac$: $D = (-28)^2 - 4 \cdot 7 \cdot 64 = 784 - 1792 = -1008$

Поскольку дискриминант $D < 0$, уравнение не имеет действительных корней. Это означает, что не существует такого значения $x$, при котором значения функций $f(x)$ и $h(x)$ равны. Следовательно, графики этих функций не пересекаются.

Итоговый вывод: Нет, графики функций не имеют общих точек.