Номер 2.153, страница 129 - гдз по алгебре 9 класс учебник Арефьева, Пирютко

2.153*. График функции $y=f(x)$ симметричен относительно прямой $x=3$. Определите, какая из данных функций является четной:

а) $y=f(x-3);$

б) $y=f(x)-3;$

в) $y=f(x)+3;$

г) $y=f(x+3).$

По условию, график функции $y = f(x)$ симметричен относительно прямой $x=3$. Это означает, что для любой точки, абсцисса которой отстоит от $x=3$ на расстояние $h$, значение функции будет одинаковым. Математически это записывается как равенство: $f(3-h) = f(3+h)$ для любого $h$ из области определения.

Функция $g(x)$ называется четной, если для любого $x$ из ее области определения выполняется равенство $g(-x) = g(x)$. График четной функции симметричен относительно оси ординат (прямой $x=0$).

Чтобы исходная функция, симметричная относительно $x=3$, стала четной (т.е. симметричной относительно $x=0$), ее график необходимо сместить по горизонтали так, чтобы ось симметрии $x=3$ переместилась в $x=0$. Для этого требуется сдвиг на 3 единицы влево.

Проверим каждую из предложенных функций:

а) $y = f(x - 3)$
Пусть $g(x) = f(x - 3)$. Преобразование $f(x) \rightarrow f(x - 3)$ — это сдвиг графика функции $y=f(x)$ на 3 единицы вправо. Ось симметрии смещается из $x=3$ в $x = 3 + 3 = 6$. Функция с осью симметрии $x=6$ не является четной.
Проверим алгебраически: $g(-x) = f(-x - 3)$. Равенство $g(x) = g(-x)$, то есть $f(x-3) = f(-x-3)$, в общем случае не выполняется.
Ответ: не является четной.

б) $y = f(x) - 3$
Пусть $g(x) = f(x) - 3$. Преобразование $f(x) \rightarrow f(x) - 3$ — это сдвиг графика функции $y=f(x)$ на 3 единицы вниз. Вертикальный сдвиг не изменяет ось симметрии. График по-прежнему симметричен относительно прямой $x=3$ и, следовательно, функция не является четной.
Ответ: не является четной.

в) $y = f(x) + 3$
Пусть $g(x) = f(x) + 3$. Преобразование $f(x) \rightarrow f(x) + 3$ — это сдвиг графика функции $y=f(x)$ на 3 единицы вверх. Как и в предыдущем пункте, вертикальный сдвиг не изменяет ось симметрии $x=3$, поэтому функция не является четной.
Ответ: не является четной.

г) $y = f(x + 3)$
Пусть $g(x) = f(x + 3)$. Преобразование $f(x) \rightarrow f(x + 3)$ — это сдвиг графика функции $y=f(x)$ на 3 единицы влево. Ось симметрии смещается из $x=3$ в $x = 3 - 3 = 0$. Функция, график которой симметричен относительно оси $y$ (прямой $x=0$), является четной.
Проверим алгебраически, выполняется ли условие $g(-x) = g(x)$.
$g(x) = f(x + 3) = f(3 + x)$
$g(-x) = f(-x + 3) = f(3 - x)$
Из начального условия симметрии $f(3-h) = f(3+h)$, подставив $h=x$, получаем $f(3-x) = f(3+x)$.
Следовательно, $g(-x) = g(x)$, что и доказывает четность функции.
Ответ: г) является четной.