Номер 2.151, страница 128 - гдз по алгебре 9 класс учебник Арефьева, Пирютко

2.151*. Функция $y = f(x)$ на промежутке $(-\infty; 4]$ возрастает, а на промежутке $[4; +\infty)$ убывает. Найдите промежуток возрастания функции:

а) $y = f(x + 1)$;

б) $y = f(x) - 7;

в) $y = f(x - 3);

г) $y = f(x + 2) - 4.

По условию задачи, функция $y = f(x)$ возрастает на промежутке $(-\infty; 4]$. Чтобы найти промежутки возрастания для преобразованных функций, необходимо проанализировать, как преобразования графика влияют на монотонность.

• Преобразования вида $y = f(x) + C$ (вертикальный сдвиг) не изменяют промежутки монотонности.
• Преобразования вида $y = f(x+c)$ (горизонтальный сдвиг) изменяют промежутки монотонности. Новая функция будет возрастать, когда ее аргумент $(x+c)$ будет принадлежать исходному промежутку возрастания.

Таким образом, для нахождения промежутка возрастания мы будем решать неравенство, в котором аргумент новой функции меньше либо равен 4.

а) $y = f(x + 1)$

Функция возрастает, когда ее аргумент $x+1$ находится в промежутке возрастания исходной функции. Составим и решим неравенство:

$x + 1 \le 4$

$x \le 3$

Промежуток возрастания: $(-\infty; 3]$.

Ответ: $(-\infty; \mathbf{3}]$

б) $y = f(x) - 7$

Данное преобразование является сдвигом графика по вертикали (вниз на 7 единиц) и не влияет на промежутки монотонности. Следовательно, промежуток возрастания остается таким же, как у исходной функции.

Промежуток возрастания: $(-\infty; 4]$.

Ответ: $(-\infty; \mathbf{4}]$

в) $y = f(x - 3)$

Функция возрастает, когда ее аргумент $x-3$ находится в промежутке возрастания исходной функции. Составим и решим неравенство:

$x - 3 \le 4$

$x \le 7$

Промежуток возрастания: $(-\infty; 7]$.

Ответ: $(-\infty; \mathbf{7}]$

г) $y = f(x + 2) - 4$

Данное преобразование является комбинацией горизонтального и вертикального сдвигов. На монотонность влияет только горизонтальный сдвиг, который определяется аргументом $x+2$.

Функция возрастает, когда $x+2 \le 4$.

$x \le 2$

Промежуток возрастания: $(-\infty; 2]$.

Ответ: $(-\infty; \mathbf{2}]$