Номер 2.142, страница 127 - гдз по алгебре 9 класс учебник Арефьева, Пирютко

2.142. С помощью преобразований графика функции $y = x^3$
постройте график функции:

а) $y = (x - 2)^3$;

б) $y = x^3 - 3;

в) $y = (x + 1)^3 - 2;

г) $y = (x - 3)^3 + 1.

Для построения графиков заданных функций необходимо выполнить преобразования (параллельные переносы) графика базовой функции $y = x^3$.

Общий вид преобразованной функции: $y = (x - a)^3 + b$.

График такой функции получается из графика $y = x^3$ с помощью двух параллельных переносов:

• сдвиг вдоль оси абсцисс (Ox) на $a$ единиц. Если $a > 0$, сдвиг вправо. Если $a < 0$, сдвиг влево на $|a|$ единиц.
• сдвиг вдоль оси ординат (Oy) на $b$ единиц. Если $b > 0$, сдвиг вверх. Если $b < 0$, сдвиг вниз на $|b|$ единиц.

Центр симметрии графика $y=x^3$ находится в точке $(0, 0)$. После преобразований центр симметрии нового графика будет находиться в точке $(a, b)$.

а) y = (x - 2)³;

В данном случае функция имеет вид $y = (x - a)^3 + b$, где $a = 2$ и $b = 0$.
Это означает, что мы должны выполнить параллельный перенос графика $y = x^3$ на 2 единицы вправо вдоль оси Ox.

Ответ: График функции $y = (x - 2)^3$ получается из графика функции $y = x^3$ путем параллельного переноса на 2 единицы вправо вдоль оси Ox.

б) y = x³ - 3;

В данном случае функция имеет вид $y = (x - a)^3 + b$, где $a = 0$ и $b = -3$.
Это означает, что мы должны выполнить параллельный перенос графика $y = x^3$ на 3 единицы вниз вдоль оси Oy.

Ответ: График функции $y = x^3 - 3$ получается из графика функции $y = x^3$ путем параллельного переноса на 3 единицы вниз вдоль оси Oy.

в) y = (x + 1)³ - 2;

Запишем функцию в виде $y = (x - (-1))^3 + (-2)$.
В данном случае $a = -1$ и $b = -2$.
Это означает, что мы должны выполнить два параллельных переноса графика $y = x^3$:

• на 1 единицу влево вдоль оси Ox (т.к. $a = -1$);
• на 2 единицы вниз вдоль оси Oy (т.к. $b = -2$).

Ответ: График функции $y = (x + 1)^3 - 2$ получается из графика функции $y = x^3$ путем параллельного переноса на 1 единицу влево вдоль оси Ox и на 2 единицы вниз вдоль оси Oy.

г) y = (x - 3)³ + 1.

В данном случае функция имеет вид $y = (x - a)^3 + b$, где $a = 3$ и $b = 1$.
Это означает, что мы должны выполнить два параллельных переноса графика $y = x^3$:

• на 3 единицы вправо вдоль оси Ox (т.к. $a = 3$);
• на 1 единицу вверх вдоль оси Oy (т.к. $b = 1$).

Ответ: График функции $y = (x - 3)^3 + 1$ получается из графика функции $y = x^3$ путем параллельного переноса на 3 единицы вправо вдоль оси Ox и на 1 единицу вверх вдоль оси Oy.