Номер 2.141, страница 127 - гдз по алгебре 9 класс учебник Арефьева, Пирютко

2.141. Представьте функцию $y=x^2+8x+10$ в виде $y=(x-m)^2+n$ и постройте ее график.

Задача состоит из двух частей: преобразование вида функции и построение её графика. Выполним их последовательно.

Для преобразования данной квадратичной функции к требуемому виду необходимо выделить полный квадрат для членов, содержащих переменную $x$.

1. Исходная функция: $y = x^2 + 8x + 10$.

2. Используем формулу сокращенного умножения для квадрата суммы: $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$. В нашем выражении $x^2 + 8x$ имеем $a=x$ и $2ab=8x$. Отсюда находим $b$: $2 \cdot x \cdot b = 8x \Rightarrow b=4$.

3. Для получения полного квадрата нам не хватает слагаемого $b^2 = 4^2 = 16$. Добавим и вычтем это число в правой части уравнения, чтобы его значение не изменилось:

$y = (x^2 + 8x + 16) - 16 + 10$

4. Теперь сгруппируем первые три слагаемых, которые образуют полный квадрат, и вычислим значение оставшихся констант:

$y = (x+4)^2 - 6$

5. Мы представили функцию в виде $y=(x-m)^2+n$. Сравнивая полученное уравнение $y = (x+4)^2 - 6$ с общим видом $y = (x - m)^2 + n$, видим, что $x+4$ можно записать как $x - (-4)$. Таким образом, получаем $m=-4$ и $n=-6$.

Ответ: Функция в требуемом виде: $y = (x+4)^2 - 6$.

Графиком функции $y = (x+4)^2 - 6$ является парабола. Для её построения определим ключевые параметры и найдем координаты нескольких точек.

1. Вершина параболы. Координаты вершины для функции вида $y=a(x-m)^2+n$ находятся в точке $(m, n)$. В нашем случае $a=1, m=-4, n=-6$. Вершина находится в точке $(-4, -6)$.

2. Направление ветвей. Коэффициент $a=1$ (положительный), поэтому ветви параболы направлены вверх.

3. Ось симметрии. Это вертикальная прямая, проходящая через вершину, с уравнением $x = m$. Для нашей функции ось симметрии — это прямая $x = -4$.

4. Точки пересечения с осями координат:

• Пересечение с осью OY (подставляем $x=0$):
  $y = (0+4)^2 - 6 = 16 - 6 = 10$.
  Точка пересечения с осью OY: $(0, 10)$.
• Пересечение с осью OX (подставляем $y=0$):
  $0 = (x+4)^2 - 6$
  $(x+4)^2 = 6$
  $x+4 = \pm\sqrt{6}$
  $x = -4 \pm\sqrt{6}$.
  Точки пересечения с осью OX: $(-4 - \sqrt{6}, 0)$ и $(-4 + \sqrt{6}, 0)$.

5. Дополнительные точки для построения.

• При $x=-2$: $y = (-2+4)^2 - 6 = 2^2 - 6 = 4 - 6 = -2$. Точка $(-2, -2)$.
• Используя симметрию относительно оси $x=-4$, находим симметричную точку: $(-6, -2)$.
• При $x=-3$: $y = (-3+4)^2 - 6 = 1^2 - 6 = 1 - 6 = -5$. Точка $(-3, -5)$.
• Симметричная ей точка: $(-5, -5)$.

Алгоритм построения графика:

1. Начертить систему координат.
2. Отметить вершину параболы в точке $(-4, -6)$.
3. Провести пунктирной линией ось симметрии $x=-4$.
4. Отметить точку пересечения с осью OY $(0, 10)$ и симметричную ей точку $(-8, 10)$.
5. Отметить дополнительные точки: $(-2, -2)$, $(-6, -2)$, $(-3, -5)$, $(-5, -5)$.
6. Соединить все отмеченные точки плавной кривой линией, чтобы получить параболу.

Ответ: Графиком функции является парабола с вершиной в точке $(-4, -6)$, ветвями, направленными вверх, и проходящая, например, через точки $(0, 10)$ и $(-2, -2)$.