Номер 2.134, страница 125 - гдз по алгебре 9 класс учебник Арефьева, Пирютко

2.134. Воспользуйтесь правилами преобразования графиков и запишите уравнение параболы, которую можно получить сдвигом параболы $y = x^2$ вдоль оси:

а) абсцисс на 7 единиц влево;

б) ординат на 4 единицы вниз;

в) ординат на 9 единиц вверх;

г) абсцисс на 1 единицу вправо;

д) абсцисс на 2 единицы влево и вдоль оси ординат на 3 единицы вверх;

е) абсцисс на 5 единиц вправо и вдоль оси ординат на 6 единиц вниз.

Для нахождения уравнений парабол, полученных сдвигом параболы $y = x^2$, используются следующие правила преобразования графиков функций:

• Чтобы сдвинуть график функции $y = f(x)$ на $a$ единиц вправо вдоль оси абсцисс (Ox), нужно заменить $x$ на $(x - a)$. Уравнение новой функции будет $y = f(x - a)$.
• Чтобы сдвинуть график функции $y = f(x)$ на $a$ единиц влево вдоль оси абсцисс (Ox), нужно заменить $x$ на $(x + a)$. Уравнение новой функции будет $y = f(x + a)$.
• Чтобы сдвинуть график функции $y = f(x)$ на $b$ единиц вверх вдоль оси ординат (Oy), нужно к функции прибавить $b$. Уравнение новой функции будет $y = f(x) + b$.
• Чтобы сдвинуть график функции $y = f(x)$ на $b$ единиц вниз вдоль оси ординат (Oy), нужно из функции вычесть $b$. Уравнение новой функции будет $y = f(x) - b$.

Применим эти правила к исходной параболе $y = x^2$.

а) абсцисс на 7 единиц влево;
Сдвиг влево на 7 единиц вдоль оси абсцисс означает, что в исходном уравнении $y = x^2$ мы заменяем $x$ на $(x+7)$.
Получаем уравнение: $y = (x + 7)^2$.
Ответ: $y = (x+7)^2$

б) ординат на 4 единицы вниз;
Сдвиг вниз на 4 единицы вдоль оси ординат означает, что из исходной функции $y = x^2$ мы вычитаем 4.
Получаем уравнение: $y = x^2 - 4$.
Ответ: $y = x^2 - 4$

в) ординат на 9 единиц вверх;
Сдвиг вверх на 9 единиц вдоль оси ординат означает, что к исходной функции $y = x^2$ мы прибавляем 9.
Получаем уравнение: $y = x^2 + 9$.
Ответ: $y = x^2 + 9$

г) абсцисс на 1 единицу вправо;
Сдвиг вправо на 1 единицу вдоль оси абсцисс означает, что в исходном уравнении $y = x^2$ мы заменяем $x$ на $(x-1)$.
Получаем уравнение: $y = (x - 1)^2$.
Ответ: $y = (x-1)^2$

д) абсцисс на 2 единицы влево и вдоль оси ординат на 3 единицы вверх;
Это комбинированный сдвиг. Сначала выполняем сдвиг по оси абсцисс, а затем по оси ординат.
1. Сдвиг влево на 2 единицы: заменяем $x$ на $(x+2)$, получаем $y = (x+2)^2$.
2. Сдвиг вверх на 3 единицы: к полученной функции прибавляем 3.
Итоговое уравнение: $y = (x+2)^2 + 3$.
Ответ: $y = (x+2)^2 + 3$

е) абсцисс на 5 единиц вправо и вдоль оси ординат на 6 единиц вниз.
Это также комбинированный сдвиг.
1. Сдвиг вправо на 5 единиц: заменяем $x$ на $(x-5)$, получаем $y = (x-5)^2$.
2. Сдвиг вниз на 6 единиц: из полученной функции вычитаем 6.
Итоговое уравнение: $y = (x-5)^2 - 6$.
Ответ: $y = (x-5)^2 - 6$