Номер 2.131, страница 118 - гдз по алгебре 9 класс учебник Арефьева, Пирютко

2.131. Постройте в одной системе координат графики функций $f(x) = x^2$; $f(x) = (x-1)^2$; $f(x) = x^2 - 3$.

Для построения графиков данных функций мы будем использовать метод преобразований графика базовой функции $y = x^2$.

Это основная квадратичная функция. Её график — стандартная парабола.

• Вершина параболы находится в начале координат, в точке $(0, 0)$.
• Ось симметрии — ось OY (прямая $x=0$).
• Ветви параболы направлены вверх.
• Для построения найдем несколько контрольных точек:
  • при $x = 0$, $y = 0^2 = 0$ -> $(0, 0)$
  • при $x = 1$, $y = 1^2 = 1$ -> $(1, 1)$
  • при $x = -1$, $y = (-1)^2 = 1$ -> $(-1, 1)$
  • при $x = 2$, $y = 2^2 = 4$ -> $(2, 4)$
  • при $x = -2$, $y = (-2)^2 = 4$ -> $(-2, 4)$

Этот график будет являться базовым для построения остальных.

Ответ: Базовая парабола с вершиной в точке $(0, 0)$, проходящая через точки $(-1, 1)$ и $(1, 1)$.

График этой функции получается из графика базовой функции $y=x^2$ путем его преобразования. Функция имеет вид $y=(x-a)^2$, где $a=1$. Такое преобразование соответствует параллельному переносу (сдвигу) графика вдоль оси OX.

• Поскольку $a=1 > 0$, сдвиг происходит на 1 единицу вправо.
• Каждая точка графика $y=x^2$ смещается на 1 единицу вправо.
• Вершина параболы смещается из точки $(0, 0)$ в точку $(1, 0)$.
• Ось симметрии смещается на прямую $x=1$.

Ответ: Парабола, полученная сдвигом графика $y=x^2$ на 1 единицу вправо. Вершина находится в точке $(1, 0)$.

График этой функции также получается из графика базовой функции $y=x^2$. Функция имеет вид $y=x^2+b$, где $b=-3$. Такое преобразование соответствует параллельному переносу (сдвигу) графика вдоль оси OY.

• Поскольку $b=-3 < 0$, сдвиг происходит на 3 единицы вниз.
• Каждая точка графика $y=x^2$ смещается на 3 единицы вниз.
• Вершина параболы смещается из точки $(0, 0)$ в точку $(0, -3)$.
• Ось симметрии остается прежней — прямая $x=0$.

Ответ: Парабола, полученная сдвигом графика $y=x^2$ на 3 единицы вниз. Вершина находится в точке $(0, -3)$.

Итоговое построение

В одной системе координат строятся три параболы одинаковой формы:

1. Синяя парабола ($y=x^2$): Вершина в $(0, 0)$.
2. Красная парабола ($y=(x-1)^2$): Та же парабола, но сдвинутая на 1 вправо. Вершина в $(1, 0)$.
3. Зеленая парабола ($y=x^2-3$): Исходная парабола, сдвинутая на 3 вниз. Вершина в $(0, -3)$.

Все три графика представляют собой параболы с ветвями, направленными вверх.