Номер 2.127, страница 118 - гдз по алгебре 9 класс учебник Арефьева, Пирютко

2.127. Найдите множество значений функции

$y=(x-3)^2+(x+1)^2$.

Для нахождения множества значений функции $y = (x-3)^2 + (x+1)^2$ необходимо привести ее к стандартному виду квадратичной функции и найти ее экстремум.

1. Упростим исходное выражение. Для этого раскроем скобки, используя формулы сокращенного умножения: квадрат разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$ и квадрат суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.

$(x-3)^2 = x^2 - 2 \cdot x \cdot 3 + 3^2 = x^2 - 6x + 9$

$(x+1)^2 = x^2 + 2 \cdot x \cdot 1 + 1^2 = x^2 + 2x + 1$

2. Сложим полученные многочлены:

$y = (x^2 - 6x + 9) + (x^2 + 2x + 1)$

Приведем подобные слагаемые:

$y = (x^2+x^2) + (-6x+2x) + (9+1)$

$y = 2x^2 - 4x + 10$

3. Мы получили квадратичную функцию $y = 2x^2 - 4x + 10$. Ее график — это парабола. Так как коэффициент при $x^2$ положителен ($a=2 > 0$), ветви параболы направлены вверх. Это означает, что функция имеет наименьшее значение в своей вершине.

4. Найдем координаты вершины параболы $(x_0, y_0)$. Абсцисса вершины находится по формуле:

$x_0 = -\frac{b}{2a}$

Для нашей функции $a=2$ и $b=-4$.

$x_0 = -\frac{-4}{2 \cdot 2} = \frac{4}{4} = 1$

5. Чтобы найти наименьшее значение функции, подставим найденное значение $x_0=1$ в уравнение функции:

$y_0 = y(1) = 2(1)^2 - 4(1) + 10 = 2 - 4 + 10 = 8$

Таким образом, наименьшее значение функции равно 8. Поскольку ветви параболы направлены вверх и уходят в бесконечность, функция может принимать любые значения, которые больше или равны 8.

Ответ: множество значений функции — промежуток $[8; +\infty)$.