Номер 2.120, страница 117 - гдз по алгебре 9 класс учебник Арефьева, Пирютко

2.120*. Известно, что функция $y = f(x)$ определена на множестве действительных чисел и на промежутке $(0; +\infty)$ принимает только отрицательные значения. Какие значения принимает данная функция на промежутке $(-\infty; 0)$, если она является:

а) четной;

б) нечетной?

По условию задачи, функция $y = f(x)$ определена на множестве всех действительных чисел. Известно, что на промежутке $(0; +\infty)$ функция принимает только отрицательные значения. Это значит, что если $x > 0$, то $f(x) < 0$.

Рассмотрим произвольное число $x_0$ из интересующего нас промежутка $(-\infty; 0)$. Для такого числа выполняется неравенство $x_0 < 0$. Тогда число $-x_0$ будет положительным, так как $-x_0 > 0$. Следовательно, число $-x_0$ принадлежит промежутку $(0; +\infty)$. Согласно условию задачи, значение функции для любого аргумента из этого промежутка отрицательно. Таким образом, мы можем утверждать, что $f(-x_0) < 0$.

Теперь, используя это знание, проанализируем оба случая.

а) если она является четной
Четная функция по определению удовлетворяет равенству $f(-x) = f(x)$ для любого $x$ из области определения. Применим это свойство к нашему числу $x_0 \in (-\infty; 0)$: $f(x_0) = f(-x_0)$. Поскольку мы уже установили, что $f(-x_0) < 0$, то из равенства следует, что и $f(x_0) < 0$. Так как $x_0$ — это любое число из промежутка $(-\infty; 0)$, то на всем этом промежутке функция принимает только отрицательные значения.
Ответ: только отрицательные значения.

б) если она является нечетной
Нечетная функция по определению удовлетворяет равенству $f(-x) = -f(x)$ для любого $x$ из области определения. Из этого равенства можно выразить $f(x) = -f(-x)$. Применим это свойство к нашему числу $x_0 \in (-\infty; 0)$: $f(x_0) = -f(-x_0)$. Мы знаем, что $f(-x_0) < 0$, то есть $f(-x_0)$ — это отрицательное число. Тогда $-f(-x_0)$ — это число, противоположное отрицательному, то есть положительное. Следовательно, $f(x_0) > 0$. Так как $x_0$ — это любое число из промежутка $(-\infty; 0)$, то на всем этом промежутке функция принимает только положительные значения.
Ответ: только положительные значения.