Номер 2.117, страница 117 - гдз по алгебре 9 класс учебник Арефьева, Пирютко

2.117. Используя алгоритм, докажите, что функция является нечетной:

a) $f(x) = \frac{5}{x}$;

б) $f(x)=2x^3-x$;

в) $f(x) = \frac{|x|}{x}$.

Чтобы доказать, что функция является нечетной, используется следующий алгоритм, состоящий из двух шагов:

1. Проверка симметричности области определения. Необходимо найти область определения функции $D(f)$ и убедиться, что она симметрична относительно нуля. То есть, для любого числа $x$ из области определения, число $-x$ также должно принадлежать этой области.
2. Проверка равенства $f(-x) = -f(x)$. Необходимо подставить $-x$ в функцию и проверить, выполняется ли равенство $f(-x) = -f(x)$ для всех $x$ из области определения.

Если оба условия выполнены, функция является нечетной.

1. Область определения. Знаменатель дроби не может быть равен нулю, поэтому $x \neq 0$. Область определения функции: $D(f) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$. Эта область симметрична относительно начала координат, так как если $x$ принадлежит этой области, то и $-x$ ей принадлежит.

2. Проверка равенства. Найдем значение функции в точке $-x$: $$ f(-x) = \frac{5}{-x} = -\frac{5}{x} $$ Теперь найдем выражение для $-f(x)$: $$ -f(x) = -\left(\frac{5}{x}\right) = -\frac{5}{x} $$ Поскольку $f(-x) = -f(x)$, оба условия выполняются. Следовательно, функция является нечетной.

Ответ: функция является нечетной.

1. Область определения. Данная функция является многочленом и определена для всех действительных чисел. Область определения: $D(f) = (-\infty; +\infty)$. Эта область симметрична относительно начала координат.

2. Проверка равенства. Найдем значение функции в точке $-x$: $$ f(-x) = 2(-x)^3 - (-x) = 2(-x^3) + x = -2x^3 + x $$ Теперь найдем выражение для $-f(x)$: $$ -f(x) = -(2x^3 - x) = -2x^3 + x $$ Поскольку $f(-x) = -f(x)$, оба условия выполняются. Следовательно, функция является нечетной.

Ответ: функция является нечетной.

1. Область определения. Знаменатель дроби не может быть равен нулю, поэтому $x \neq 0$. Область определения функции: $D(f) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$. Эта область симметрична относительно начала координат.

2. Проверка равенства. Найдем значение функции в точке $-x$: $$ f(-x) = \frac{|-x|}{-x} $$ Используя свойство модуля $|-a| = |a|$, получаем: $$ f(-x) = \frac{|x|}{-x} = -\frac{|x|}{x} $$ Теперь найдем выражение для $-f(x)$: $$ -f(x) = -\left(\frac{|x|}{x}\right) = -\frac{|x|}{x} $$ Поскольку $f(-x) = -f(x)$, оба условия выполняются. Следовательно, функция является нечетной.

Ответ: функция является нечетной.