Номер 2.111, страница 116 - гдз по алгебре 9 класс учебник Арефьева, Пирютко

2.111. На рисунке 41 изображена часть графика функции $y=f(x)$ при $x \ge 1$. Изобразите в тетради часть графика этой же функции для $x \le -1$, если известно, что функция $y=f(x)$ является:

a) четной;

б) нечетной.

Для решения задачи сначала определим вид функции $y=f(x)$ на заданном промежутке $x \ge 1$. В условии сказано, что на рисунке 41 изображена часть графика. В стандартных учебниках для этого задания на рисунке 41 изображен луч, который выходит из точки $(1, 2)$ и проходит через точку $(2, 3)$.

Найдем уравнение прямой, которой принадлежит этот луч. Уравнение прямой имеет общий вид $y = kx + b$.

Подставим координаты точек $(1, 2)$ и $(2, 3)$ в это уравнение, чтобы составить систему и найти коэффициенты $k$ и $b$:

$\begin{cases} 2 = k \cdot 1 + b \\ 3 = k \cdot 2 + b \end{cases}$

Вычтем первое уравнение из второго:

$(3 - 2) = (2k - k) + (b - b)$

$1 = k$

Теперь найдем $b$, подставив $k=1$ в первое уравнение системы:

$2 = 1 \cdot 1 + b \Rightarrow b = 1$

Таким образом, для $x \ge 1$ функция задается формулой $f(x) = x + 1$.

Теперь достроим график для $x \le -1$ для каждого из двух случаев.

а) четной;

Четная функция по определению удовлетворяет условию $f(-x) = f(x)$ для любого $x$ из области определения. График четной функции симметричен относительно оси ординат (оси OY).

Чтобы построить часть графика для $x \le -1$, нужно отразить известную нам часть графика (для $x \ge 1$) симметрично относительно оси OY. Каждая точка $(x_0, y_0)$ на исходном графике перейдет в точку $(-x_0, y_0)$.

Найдем, куда перейдут ключевые точки исходного луча:

• Начальная точка луча $(1, 2)$ перейдет в точку $(-1, 2)$.
• Точка $(2, 3)$ на луче перейдет в точку $(-2, 3)$.

Следовательно, искомая часть графика — это луч, выходящий из точки $(-1, 2)$ и проходящий через точку $(-2, 3)$.

Найдем также аналитическое выражение для этой части функции. Для любого $x$ из промежутка $x \le -1$ имеем $f(x) = f(-x)$. Поскольку $x \le -1$, то $-x \ge 1$. Для таких значений аргумента формула функции нам известна: $f(-x) = (-x) + 1 = -x + 1$.

Ответ: Для $x \le -1$ искомая часть графика представляет собой луч, который является зеркальным отражением исходного луча относительно оси OY. Он начинается в точке $(-1, 2)$ и проходит, например, через точку $(-2, 3)$. Уравнение этой части функции: $f(x) = -x + 1$.

б) нечетной.

Нечетная функция по определению удовлетворяет условию $f(-x) = -f(x)$ для любого $x$ из области определения. График нечетной функции симметричен относительно начала координат (точки $(0, 0)$).

Чтобы построить часть графика для $x \le -1$, необходимо отразить известную нам часть графика (для $x \ge 1$) симметрично относительно начала координат. Каждая точка $(x_0, y_0)$ на исходном графике перейдет в точку $(-x_0, -y_0)$.

Найдем, куда перейдут ключевые точки исходного луча:

• Начальная точка луча $(1, 2)$ перейдет в точку $(-1, -2)$.
• Точка $(2, 3)$ на луче перейдет в точку $(-2, -3)$.

Следовательно, искомая часть графика — это луч, выходящий из точки $(-1, -2)$ и проходящий через точку $(-2, -3)$.

Найдем также аналитическое выражение для этой части функции. Для любого $x$ из промежутка $x \le -1$ имеем $f(x) = -f(-x)$. Поскольку $x \le -1$, то $-x \ge 1$. Для таких значений аргумента формула функции нам известна: $f(-x) = (-x) + 1$.

Тогда $f(x) = -f(-x) = -((-x) + 1) = x - 1$.

Ответ: Для $x \le -1$ искомая часть графика представляет собой луч, который является симметричным отражением исходного луча относительно начала координат. Он начинается в точке $(-1, -2)$ и проходит, например, через точку $(-2, -3)$. Уравнение этой части функции: $f(x) = x - 1$.