Номер 2.108, страница 115 - гдз по алгебре 9 класс учебник Арефьева, Пирютко

2.108. Определите, может ли областью определения четной или нечетной функции являться множество чисел:

а) $ [-3; 3]; $

б) $ [-\sqrt{2}; 0) \cup (0, \sqrt{2}]; $

в) $ (-4; 4]; $

г) $ [-7; -1) \cup (-1; 1) \cup (1; 7]. $

Для того чтобы некоторое множество чисел могло являться областью определения четной или нечетной функции, оно должно быть симметричным относительно начала координат. Это означает, что для любого числа $x$, принадлежащего области определения $D(f)$, противоположное ему число $-x$ также должно принадлежать $D(f)$. Проверим это свойство для каждого из заданных множеств.

а) $[-3; 3]$Данное множество является отрезком. Проверим его на симметричность. Если взять любое число $x$ из этого отрезка, то будет выполняться неравенство $-3 \le x \le 3$. Умножим все части этого двойного неравенства на $-1$ и сменим знаки неравенства на противоположные: $3 \ge -x \ge -3$. Это равносильно записи $-3 \le -x \le 3$, что означает, что число $-x$ также принадлежит отрезку $[-3; 3]$. Таким образом, множество симметрично относительно нуля. Ответ: Да, может.

б) $[-\sqrt{2}; 0) \cup (0, \sqrt{2}]$Данное множество представляет собой объединение двух промежутков. Фактически, это отрезок $[-\sqrt{2}; \sqrt{2}]$ с исключенной точкой $0$. Если $x$ принадлежит этому множеству, то $-x$ также принадлежит этому множеству. Например, если $x \in [-\sqrt{2}; 0)$, то $-\sqrt{2} \le x < 0$, откуда $0 < -x \le \sqrt{2}$, то есть $-x \in (0, \sqrt{2}]$. Аналогично, если $x \in (0, \sqrt{2}]$, то $-x \in [-\sqrt{2}; 0)$. Множество симметрично относительно нуля. Ответ: Да, может.

в) $(-4; 4]$Данное множество является полуинтервалом. Проверим его на симметричность. Возьмем число $x=4$. Оно принадлежит данному множеству, так как $-4 < 4 \le 4$. Однако противоположное ему число $-x = -4$ не принадлежит этому множеству, так как левая граница интервала (точка $-4$) не включена в множество. Поскольку нашлось число, для которого не выполняется условие симметричности, данное множество не является симметричным относительно нуля. Ответ: Нет, не может.

г) $[-7; -1) \cup (-1; 1) \cup (1; 7]$Данное множество представляет собой отрезок $[-7; 7]$ с исключенными точками $-1$ и $1$. Проверим его на симметричность.

• Если $x \in [-7; -1)$, то $-7 \le x < -1$, откуда $1 < -x \le 7$, то есть $-x \in (1; 7]$.
• Если $x \in (-1; 1)$, то $-1 < x < 1$, откуда $-1 < -x < 1$, то есть $-x \in (-1; 1)$.
• Если $x \in (1; 7]$, то $1 < x \le 7$, откуда $-7 \le -x < -1$, то есть $-x \in [-7; -1)$.

Для любого $x$ из данного множества, противоположное ему число $-x$ также принадлежит этому множеству. Множество симметрично относительно нуля. Ответ: Да, может.