Номер 2.102, страница 114 - гдз по алгебре 9 класс учебник Арефьева, Пирютко

2.102. Исследуйте функцию на четность:

a) $f(x) = -2x^5$;

б) $f(x) = 3|x| + 1$;

в) $f(x) = \sqrt{x-8}$;

г)* $f(x) = |x+7| - |x-7|$.

Из данных функций выберите функции, графики которых симметричны относительно оси ординат; относительно начала координат.

Для исследования функции на четность необходимо проверить два условия:

1. Область определения функции $D(f)$ должна быть симметрична относительно начала координат (то есть, если $x \in D(f)$, то и $-x \in D(f)$).
2. Должно выполняться одно из следующих равенств для любого $x$ из области определения:
   • $f(-x) = f(x)$ — в этом случае функция является четной. График такой функции симметричен относительно оси ординат (оси OY).
   • $f(-x) = -f(x)$ — в этом случае функция является нечетной. График такой функции симметричен относительно начала координат.

Если область определения несимметрична или ни одно из равенств не выполняется, функция является ни четной, ни нечетной (функцией общего вида).

а) Исследуем функцию $f(x) = -2x^5$.
1. Область определения $D(f) = (-\infty; +\infty)$. Она симметрична относительно начала координат.
2. Найдем $f(-x)$:
$f(-x) = -2(-x)^5 = -2(-x^5) = 2x^5$.
3. Сравним полученное выражение с $-f(x)$:
$-f(x) = -(-2x^5) = 2x^5$.
Так как выполняется равенство $f(-x) = -f(x)$, функция является нечетной.
Ответ: нечетная.

б) Исследуем функцию $f(x) = 3|x| + 1$.
1. Область определения $D(f) = (-\infty; +\infty)$. Она симметрична относительно начала координат.
2. Найдем $f(-x)$:
$f(-x) = 3|-x| + 1$. Используя свойство модуля $|-a|=|a|$, получаем: $f(-x) = 3|x| + 1$.
3. Так как выполняется равенство $f(-x) = f(x)$, функция является четной.
Ответ: четная.

в) Исследуем функцию $f(x) = \sqrt{x-8}$.
1. Найдем область определения. Выражение под корнем должно быть неотрицательным: $x-8 \ge 0$, откуда $x \ge 8$.
$D(f) = [8; +\infty)$.
2. Данная область определения не является симметричной относительно начала координат (например, точка $x=8$ принадлежит области, а $x=-8$ — нет).
Следовательно, функция не является ни четной, ни нечетной.
Ответ: ни четная, ни нечетная.

г)*

Исследуем функцию $f(x) = |x+7| - |x-7|$.
1. Область определения $D(f) = (-\infty; +\infty)$. Она симметрична относительно начала координат.
2. Найдем $f(-x)$:
$f(-x) = |(-x)+7| - |(-x)-7| = |-(x-7)| - |-(x+7)|$.
Используя свойство модуля $|-a|=|a|$, получаем: $f(-x) = |x-7| - |x+7|$.
3. Сравним полученное выражение с $-f(x)$:
$-f(x) = -(|x+7| - |x-7|) = -|x+7| + |x-7| = |x-7| - |x+7|$.
Так как выполняется равенство $f(-x) = -f(x)$, функция является нечетной.
Ответ: нечетная.

Функции, графики которых симметричны относительно оси ординат (четные функции):

• б) $f(x) = 3|x| + 1$

Функции, графики которых симметричны относительно начала координат (нечетные функции):

• а) $f(x) = -2x^5$
• г)* $f(x) = |x+7| - |x-7|$