Номер 2.96, страница 113 - гдз по алгебре 9 класс учебник Арефьева, Пирютко

2.96. Функция $y=f(x)$ определена на отрезке $[-6; 6]$ и является нечетной. Ее график для $x \le 0$ изображен на рисунке 37. Найдите количество корней уравнения $f(x)=0$. Решите неравенство $f(x) < 0$.

Рис. 37

По условию, функция $y = f(x)$ определена на отрезке $[-6; 6]$ и является нечетной. Свойство нечетной функции заключается в том, что для любого $x$ из ее области определения выполняется равенство $f(-x) = -f(x)$. График нечетной функции симметричен относительно начала координат (точки $O(0, 0)$).

Нам дан график функции для $x \le 0$. Чтобы получить полный график на всем отрезке $[-6; 6]$, необходимо отразить данную часть графика симметрично относительно начала координат.

Проанализируем ключевые точки на известной части графика ($x \le 0$):

• Конечная точка графика: $f(-6) = 4$.
• Пересечение с осью Ox: $f(-5) = 0$.
• Точка локального минимума: $f(-2) = -3$.
• Пересечение с осями в начале координат: $f(0) = 0$.

Теперь найдем соответствующие им симметричные точки для $x > 0$:

• Точка, симметричная $(-6, 4)$, будет $(6, -4)$, так как $f(6) = -f(-6) = -4$.
• Точка, симметричная $(-5, 0)$, будет $(5, 0)$, так как $f(5) = -f(-5) = -0 = 0$.
• Точка, симметричная $(-2, -3)$, будет $(2, 3)$, так как $f(2) = -f(-2) = -(-3) = 3$. Это будет точка локального максимума.
• Точка $(0, 0)$ симметрична сама себе.

Теперь мы можем решить поставленные задачи, основываясь на виде полного графика функции.

Корни уравнения $f(x) = 0$ — это абсциссы точек пересечения графика функции с осью $Ox$.
Из графика для $x \le 0$ мы видим два корня: $x_1 = -5$ и $x_2 = 0$.
Благодаря свойству нечетности, мы определили, что для $x > 0$ есть еще один корень, симметричный корню $x_1 = -5$. Это корень $x_3 = 5$.
Таким образом, на всем отрезке $[-6; 6]$ уравнение $f(x) = 0$ имеет три корня: $-5, 0$ и $5$.
Ответ: 3

Неравенство $f(x) < 0$ выполняется на тех промежутках, где график функции расположен ниже оси абсцисс ($y < 0$).
1. Для $x \le 0$: из данного графика видно, что $f(x) < 0$ на интервале от $-5$ до $0$. Таким образом, получаем промежуток $(-5; 0)$.
2. Для $x > 0$: используя построенную симметричную часть графика, видим, что функция отрицательна после пересечения оси $Ox$ в точке $x=5$ и до конца отрезка в точке $x=6$. В точке $x=6$ значение функции $f(6)=-4$, что удовлетворяет неравенству $f(x) < 0$. Таким образом, получаем промежуток $(5; 6]$.
Объединяя оба найденных промежутка, получаем полное решение неравенства.
Ответ: $x \in (-5; 0) \cup (5; 6]$