Номер 2.99, страница 114 - гдз по алгебре 9 класс учебник Арефьева, Пирютко

2.99. Используя алгоритм, докажите нечетность функции:

а) $f(x) = x^3 + 2x;$

б) $f(x) = \frac{7}{x^5};$

в) $f(x) = x|x|;$

г) $f(x) = 9x^7.$

Алгоритм доказательства нечетности функции $f(x)$ заключается в проверке двух условий:

1. Область определения функции, $D(f)$, должна быть симметрична относительно нуля (то есть, если $x \in D(f)$, то и $-x \in D(f)$).
2. Для любого $x$ из области определения должно выполняться равенство $f(-x) = -f(x)$.

Применим этот алгоритм к каждой из заданных функций.

а) $f(x) = x^3 + 2x$
1. Область определения данной функции — все действительные числа, $D(f) = (-\infty; +\infty)$, так как это многочлен. Эта область симметрична относительно нуля.
2. Проверим выполнение равенства. Найдем $f(-x)$:
$f(-x) = (-x)^3 + 2(-x) = -x^3 - 2x = -(x^3 + 2x)$.
Так как $f(x) = x^3 + 2x$, получаем, что $f(-x) = -f(x)$.
Оба условия выполнены, следовательно, функция нечетная. Ответ: Доказано, что функция является нечетной.

б) $f(x) = \frac{7}{x^5}$
1. Область определения функции находится из условия, что знаменатель не равен нулю: $x^5 \neq 0$, то есть $x \neq 0$. Таким образом, $D(f) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$. Эта область симметрична относительно нуля.
2. Проверим выполнение равенства. Найдем $f(-x)$:
$f(-x) = \frac{7}{(-x)^5} = \frac{7}{-x^5} = -\frac{7}{x^5}$.
Так как $f(x) = \frac{7}{x^5}$, получаем, что $f(-x) = -f(x)$.
Оба условия выполнены, следовательно, функция нечетная. Ответ: Доказано, что функция является нечетной.

в) $f(x) = x|x|$
1. Область определения данной функции — все действительные числа, $D(f) = (-\infty; +\infty)$. Эта область симметрична относительно нуля.
2. Проверим выполнение равенства. Найдем $f(-x)$:
$f(-x) = (-x)|-x|$.
Используя свойство модуля $|-a| = |a|$, имеем: $f(-x) = (-x)|x| = -x|x|$.
Так как $f(x) = x|x|$, получаем, что $f(-x) = -f(x)$.
Оба условия выполнены, следовательно, функция нечетная. Ответ: Доказано, что функция является нечетной.

г) $f(x) = 9x^7$
1. Область определения данной функции — все действительные числа, $D(f) = (-\infty; +\infty)$. Эта область симметрична относительно нуля.
2. Проверим выполнение равенства. Найдем $f(-x)$:
$f(-x) = 9(-x)^7$.
Так как показатель степени 7 является нечетным числом, то $(-x)^7 = -x^7$.
$f(-x) = 9(-x^7) = -9x^7$.
Так как $f(x) = 9x^7$, получаем, что $f(-x) = -f(x)$.
Оба условия выполнены, следовательно, функция нечетная. Ответ: Доказано, что функция является нечетной.