Номер 2.104, страница 114 - гдз по алгебре 9 класс учебник Арефьева, Пирютко

Рис. 38

2.104. Может ли функция быть и четной, и нечетной одновременно? Если да, то приведите пример такой функции.

Да, функция может быть одновременно и четной, и нечетной. Чтобы определить, какая это функция, обратимся к определениям.

Функция $f(x)$ является четной, если для любого $x$ из ее области определения выполняется равенство $f(-x) = f(x)$.

Функция $f(x)$ является нечетной, если для любого $x$ из ее области определения выполняется равенство $f(-x) = -f(x)$.

Для того чтобы функция была одновременно и четной, и нечетной, необходимо, чтобы для любого $x$ из ее области определения выполнялись оба условия. Таким образом, мы можем составить систему уравнений:

$ \begin{cases} f(-x) = f(x) \\ f(-x) = -f(x) \end{cases} $

Поскольку левые части уравнений равны, мы можем приравнять их правые части:

$f(x) = -f(x)$

Перенесем $-f(x)$ в левую часть уравнения:

$f(x) + f(x) = 0$

$2f(x) = 0$

Разделив обе части на 2, получаем единственное возможное решение:

$f(x) = 0$

Это означает, что единственная функция, которая может быть одновременно и четной, и нечетной, — это функция, тождественно равная нулю, $f(x) = 0$. Область определения такой функции должна быть симметрична относительно нуля (например, все действительные числа $\mathbb{R}$).

Проверим полученный результат:

Пусть $f(x) = 0$.
1. Проверка на четность: $f(-x) = 0$. $f(x) = 0$. Так как $0=0$, условие $f(-x) = f(x)$ выполняется. Функция четная.
2. Проверка на нечетность: $f(-x) = 0$. $-f(x) = -0 = 0$. Так как $0=0$, условие $f(-x) = -f(x)$ выполняется. Функция нечетная.

Следовательно, функция $f(x)=0$ действительно является одновременно и четной, и нечетной.

Может ли функция быть и четной, и нечетной одновременно? Ответ: Да, может.

Приведите пример такой функции. Ответ: $f(x) = 0$.