Номер 2.103, страница 114 - гдз по алгебре 9 класс учебник Арефьева, Пирютко

2.103. Функция $y=f(x)$ определена на на отрезке $[-7; 7]$ и является нечетной. Часть ее графика для $x \ge 0$ изображена на рисунке 38.

Найдите:

а) множество значений функции;

б) нули функции;

в) промежутки знакопостоянства функции;

г) промежутки монотонности функции.

Рис. 38

Поскольку функция $y=f(x)$ является нечетной, ее график симметричен относительно начала координат. Это означает, что для каждой точки $(x, y)$ на графике существует симметричная ей точка $(-x, -y)$. Используя это свойство, мы можем достроить график функции на промежутке $[-7; 0)$ на основе предоставленного графика для $x \ge 0$.

Ключевые точки на заданном графике ($x \ge 0$): $(0, 0)$, $(2, 4)$ (локальный максимум), $(3, 0)$, $(4, -4)$ (локальный минимум), $(6, 0)$ и $(7, 2)$.

Симметричные им точки на промежутке $x < 0$: $(0, 0)$, $(-2, -4)$ (локальный минимум), $(-3, 0)$, $(-4, 4)$ (локальный максимум), $(-6, 0)$ и $(-7, -2)$.

Теперь, анализируя полный график на отрезке $[-7; 7]$, найдем искомые характеристики.

а) множество значений функции; Ответ:

Анализируя полный график, мы видим, что наибольшее значение функции равно $4$ (достигается в точках $x=2$ и $x=-4$), а наименьшее значение равно $-4$ (достигается в точках $x=4$ и $x=-2$). Поскольку функция непрерывна на всей области определения, она принимает все значения между своим минимумом и максимумом. Таким образом, множество значений функции $E(f) = [-4; 4]$.

б) нули функции; Ответ:

Нули функции – это значения аргумента $x$, при которых $f(x)=0$. Это точки пересечения графика с осью абсцисс. Из графика для $x \ge 0$ мы видим нули в точках $x=0$, $x=3$ и $x=6$. В силу нечетности функции, если $f(x)=0$ при $x \ne 0$, то и $f(-x)=-f(x)=0$. Следовательно, $x=-3$ и $x=-6$ также являются нулями. Полный список нулей: $\{-6, -3, 0, 3, 6\}$.

в) промежутки знакопостоянства функции; Ответ:

Промежутки знакопостоянства – это интервалы, на которых функция сохраняет свой знак (положительна или отрицательна).

• Функция положительна ($f(x)>0$), когда ее график находится выше оси Ox. Это происходит на промежутках $(-6; -3) \cup (0; 3) \cup (6; 7]$.
• Функция отрицательна ($f(x)<0$), когда ее график находится ниже оси Ox. Это происходит на промежутках $[-7; -6) \cup (-3; 0) \cup (3; 6)$.

г) промежутки монотонности функции. Ответ:

Промежутки монотонности – это интервалы, на которых функция возрастает или убывает.

• Функция возрастает, когда ее график идет вверх (слева направо). Это происходит на промежутках $[-7; -4]$, $[-2; 2]$ и $[4; 7]$.
• Функция убывает, когда ее график идет вниз (слева направо). Это происходит на промежутках $[-4; -2]$ и $[2; 4]$.