Номер 2.110, страница 116 - гдз по алгебре 9 класс учебник Арефьева, Пирютко

2.110. Функция $y=f(x)$ является нечетной и определена на при $x \in (-\infty; -1] \cup [1; +\infty)$. На рисунке 40, а изображена часть графика этой функции при $x \ge 1$. Среди рисунков 40, б–г выберите изображение части графика этой же функции для $x \le -1$.

a) б) в) г) Рис. 40

По определению, функция $y = f(x)$ является нечетной, если для любого $x$ из ее области определения выполняется равенство $f(-x) = -f(x)$. Область определения $D(f)$ нечетной функции должна быть симметрична относительно начала координат, что выполняется для множества $x \in (-\infty; -1] \cup [1; +\infty)$.

Геометрически это означает, что график нечетной функции симметричен относительно начала координат — точки $(0, 0)$. Если точка с координатами $(x_0, y_0)$ принадлежит графику функции, то и точка с координатами $(-x_0, -y_0)$ также принадлежит этому графику. Иными словами, часть графика для $x \le -1$ можно получить, повернув часть графика для $x \ge 1$ на 180° вокруг начала координат.

Рассмотрим заданную часть графика функции для $x \ge 1$ (маленький рисунок 40, а, в условии задачи). Выделим на нем ключевые точки:

• Начальная точка отрезка: $(1, 0)$
• Точка вершины (пик): $(2, 3)$
• Конечная точка отрезка: $(3, 0)$

Теперь, используя свойство симметрии нечетной функции, найдем соответствующие точки для части графика при $x \le -1$, выполнив преобразование $(x, y) \rightarrow (-x, -y)$:

• Точка $(1, 0)$ переходит в точку $(-1, -0)$, то есть в $(-1, 0)$.
• Точка $(2, 3)$ переходит в точку $(-2, -3)$, то есть в $(-2, -3)$.
• Точка $(3, 0)$ переходит в точку $(-3, -0)$, то есть в $(-3, 0)$.

Таким образом, искомая часть графика для $x \le -1$ должна представлять собой "впадину", проходящую через точки $(-1, 0)$, $(-2, -3)$ и $(-3, 0)$.

Сравним этот результат с предложенными вариантами графиков б-г:

• График б): Изображен "пик" с вершиной в точке $(-2, 3)$. Это соответствует симметрии относительно оси OY (свойство четной функции), а не начала координат. Вариант неверен.
• График в): Изображен "пик" с вершиной в точке $(-4, 3)$. Координаты не соответствуют искомым. Вариант неверен.
• График г): Изображена "впадина", которая начинается в точке $(-1, 0)$, достигает минимума в точке $(-2, -3)$ и возвращается в точку $(-3, 0)$. Этот график полностью соответствует точкам, полученным при симметричном отображении относительно начала координат. Вариант верен.

Выбор правильного графика: Ответ: г