Номер 2.115, страница 117 - гдз по алгебре 9 класс учебник Арефьева, Пирютко

2.115. Известно, что функция $y = f(x)$ четная. На рисунке 44 изображена часть графика этой функции для $x \ge 0$. Найдите количество корней уравнения $f(x)=0$. Решите неравенство $f(x) > 0$.

Рис. 44

По условию задачи функция $y = f(x)$ является четной. Это означает, что ее график симметричен относительно оси ординат ($Oy$). Нам предоставлена часть графика для $x \ge 0$. Для полного анализа функции необходимо достроить ее график для $x < 0$, отразив данную часть симметрично относительно оси $Oy$.

Анализ графика для $x \ge 0$

График для неотрицательных $x$ состоит из трех отрезков прямых. Для нахождения корней уравнения и решения неравенства найдем уравнения этих прямых.

1. Участок 1: $x \in [0, 3]$
   Прямая проходит через точки $(0, 4)$ и $(3, -3)$.
   Уравнение прямой: $y - y_1 = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}(x - x_1)$.
   $y - 4 = \frac{-3 - 4}{3 - 0}(x - 0) \Rightarrow y = -\frac{7}{3}x + 4$.
   Корень уравнения $f(x)=0$ на этом участке: $0 = -\frac{7}{3}x + 4 \Rightarrow \frac{7}{3}x = 4 \Rightarrow x_1 = \frac{12}{7}$.
2. Участок 2: $x \in [3, 5]$
   Прямая проходит через точки $(3, -3)$ и $(5, 4)$.
   $y - 4 = \frac{4 - (-3)}{5 - 3}(x - 5) \Rightarrow y - 4 = \frac{7}{2}(x - 5) \Rightarrow y = \frac{7}{2}x - \frac{35}{2} + 4 \Rightarrow y = \frac{7}{2}x - \frac{27}{2}$.
   Корень уравнения $f(x)=0$ на этом участке: $0 = \frac{7}{2}x - \frac{27}{2} \Rightarrow \frac{7}{2}x = \frac{27}{2} \Rightarrow x_2 = \frac{27}{7}$.
3. Участок 3: $x \in [5, \infty)$
   Прямая проходит через точки $(5, 4)$ и $(6, 1)$.
   $y - 4 = \frac{1 - 4}{6 - 5}(x - 5) \Rightarrow y - 4 = -3(x - 5) \Rightarrow y = -3x + 19$.
   Корень уравнения $f(x)=0$ на этом участке: $0 = -3x + 19 \Rightarrow 3x = 19 \Rightarrow x_3 = \frac{19}{3}$.

Итак, при $x > 0$ функция имеет три корня: $\frac{12}{7}$, $\frac{27}{7}$, $\frac{19}{3}$. При $x=0$, значение функции $f(0) = 4$, следовательно $x=0$ не является корнем.

Мы нашли 3 положительных корня. Поскольку функция $f(x)$ четная ($f(-x) = f(x)$), каждому положительному корню $x_0$ соответствует симметричный отрицательный корень $-x_0$.
Следовательно, существуют еще 3 отрицательных корня: $-\frac{12}{7}$, $-\frac{27}{7}$, $-\frac{19}{3}$.
Общее количество корней уравнения $f(x) = 0$ равно сумме положительных и отрицательных корней: $3 + 3 = 6$.
Ответ: 6.

Неравенство $f(x) > 0$ выполняется на тех интервалах, где график функции расположен выше оси абсцисс ($Ox$).

1. Для $x \ge 0$:
- На участке $[0, \frac{12}{7})$ функция $f(x)$ убывает от 4 до 0, значит $f(x)>0$. - На участке $(\frac{12}{7}, \frac{27}{7})$ график находится ниже оси $Ox$, значит $f(x)<0$. - На участке $(\frac{27}{7}, \frac{19}{3})$ график находится выше оси $Ox$, значит $f(x)>0$. - При $x > \frac{19}{3}$ график находится ниже оси $Ox$, значит $f(x)<0$. Таким образом, для $x \ge 0$ решение неравенства: $x \in [0, \frac{12}{7}) \cup (\frac{27}{7}, \frac{19}{3})$.

2. Используем свойство четности:
Поскольку график симметричен относительно оси $Oy$, интервалы, где $f(x) > 0$, также будут симметричны. - Интервалу $[0, \frac{12}{7})$ соответствует симметричный интервал $(-\frac{12}{7}, 0]$. Объединяя их, получаем $(-\frac{12}{7}, \frac{12}{7})$. - Интервалу $(\frac{27}{7}, \frac{19}{3})$ соответствует симметричный интервал $(-\frac{19}{3}, -\frac{27}{7})$.

Объединяя все полученные интервалы, получаем полное решение неравенства $f(x) > 0$. Для удобства представим неправильные дроби в виде смешанных чисел:
$\frac{12}{7} = 1\frac{5}{7}$
$\frac{27}{7} = 3\frac{6}{7}$
$\frac{19}{3} = 6\frac{1}{3}$

Ответ: $x \in (-\mathbf{6}\frac{1}{3}, -\mathbf{3}\frac{6}{7}) \cup (-\mathbf{1}\frac{5}{7}, \mathbf{1}\frac{5}{7}) \cup (\mathbf{3}\frac{6}{7}, \mathbf{6}\frac{1}{3})$.