Номер 2.119, страница 117 - гдз по алгебре 9 класс учебник Арефьева, Пирютко

2.119. Функция $y=f(x)$ является четной и определена на отрезке $[-7; 7]$. Часть ее графика для $x \le 0$ изображена на рисунке 45. Найдите:

а) множество значений функции;

б) нули функции;

в) промежутки знакопостоянства функции;

г) промежутки монотонности функции.

Рис. 45

Поскольку функция $y=f(x)$ является четной, ее график симметричен относительно оси ординат (оси OY). Это означает, что для любого $x$ из области определения выполняется равенство $f(-x) = f(x)$. Область определения $D(f) = [-7; 7]$ симметрична относительно нуля. Мы можем достроить часть графика для $x > 0$, симметрично отразив данную часть для $x \le 0$ относительно оси OY.

Ключевые точки на заданном графике ($x \le 0$): $(-7, -4)$, $(-5, 4)$, $(-3, -4)$, $(0, 2)$.

Симметричные ключевые точки для $x > 0$: $(7, -4)$, $(5, 4)$, $(3, -4)$.

На основе полного графика определим требуемые характеристики функции.

а) множество значений функции: Ответ: Наибольшее значение функции равно $4$, а наименьшее равно $-4$. Функция непрерывна, поэтому она принимает все значения между наименьшим и наибольшим. Таким образом, множество значений функции $E(f) = [-4; 4]$.

б) нули функции: Ответ: Нули функции – это значения $x$, при которых $f(x) = 0$. Из графика для $x \le 0$ находим нули: $x = -6$ (между $-7$ и $-5$), $x = -4$ (между $-5$ и $-3$) и $x = -1$ (между $-3$ и $0$). В силу четности функции, для $x > 0$ нулями будут симметричные точки: $x=1, x=4, x=6$. Итого, нули функции: $x = -6, x = -4, x = -1, x = 1, x = 4, x = 6$.

в) промежутки знакопостоянства функции: Ответ:

• Функция положительна ($f(x) > 0$), когда ее график находится выше оси Ox. Это происходит на интервалах $x \in (-6; -4) \cup (-1; 1) \cup (4; 6)$.
• Функция отрицательна ($f(x) < 0$), когда ее график находится ниже оси Ox. Это происходит на интервалах $x \in [-7; -6) \cup (-4; -1) \cup (1; 4) \cup (6; 7]$.

г) промежутки монотонности функции: Ответ:

• Функция возрастает (график идет вверх слева направо) на промежутках: $[-7; -5]$, $[-3; 0]$ и $[3; 5]$.
• Функция убывает (график идет вниз слева направо) на промежутках: $[-5; -3]$, $[0; 3]$ и $[5; 7]$.