Номер 2.113, страница 116 - гдз по алгебре 9 класс учебник Арефьева, Пирютко

2.113. На рисунке 43 изображена часть графика функции $y = f(x)$ для всех $x$, удовлетворяющих условию $x \le 0$. Изобразите в тетради график функции $y = f(x)$, зная, что она:

а) четная;

б) нечетная.

Для каждого случая найдите $f(2)$; $f(5)$.

Рис. 43

а) Предположим, что функция $y=f(x)$ является четной. По определению, для четной функции выполняется равенство $f(-x) = f(x)$ для любого $x$ из области определения. График четной функции симметричен относительно оси ординат (оси Oy).

Чтобы достроить график для $x > 0$, необходимо отразить заданную часть графика ($x \le 0$) симметрично относительно оси Oy. Таким образом, точка на графике с координатами $(x, y)$ при $x \le 0$ будет соответствовать точке с координатами $(-x, y)$ при $x \ge 0$.

Найдем значения функции в заданных точках, используя свойство четности:

• $f(2) = f(-2)$. Из графика видно, что точка $(-2, 1)$ принадлежит графику, следовательно, $f(-2) = 1$. Значит, $f(2)=1$.
• $f(5) = f(-5)$. Из графика видно, что при $x \le -4$ функция представляет собой горизонтальную прямую $y=-1$. Следовательно, $f(-5)=-1$. Значит, $f(5)=-1$.

Ответ: $f(2)=1$, $f(5)=-1$.

б) Предположим, что функция $y=f(x)$ является нечетной. По определению, для нечетной функции выполняется равенство $f(-x) = -f(x)$ для любого $x$ из области определения. График нечетной функции симметричен относительно начала координат ($O(0,0)$).

Чтобы достроить график для $x > 0$, необходимо отразить заданную часть графика ($x \le 0$) симметрично относительно начала координат. Таким образом, точка на графике с координатами $(x, y)$ при $x \le 0$ будет соответствовать точке с координатами $(-x, -y)$ при $x \ge 0$.

Найдем значения функции в заданных точках, используя свойство нечетности:

• $f(2) = -f(-2)$. Из графика $f(-2) = 1$. Следовательно, $f(2) = -1$.
• $f(5) = -f(-5)$. Из графика $f(-5) = -1$. Следовательно, $f(5) = -(-1) = 1$.

Ответ: $f(2)=-1$, $f(5)=1$.