Номер 2.118, страница 117 - гдз по алгебре 9 класс учебник Арефьева, Пирютко

2.118. Докажите, что функция не является ни четной, ни нечетной:

а) $f(x) = 7 - 2x;$

б) $f(x) = x^2 - 3x;$

в) $f(x) = \frac{1}{x+3}.$

Для доказательства того, что функция не является ни четной, ни нечетной, необходимо проверить выполнение определений четной и нечетной функции.

• Функция $f(x)$ называется четной, если для любого $x$ из ее области определения выполняется равенство $f(-x) = f(x)$.
• Функция $f(x)$ называется нечетной, если для любого $x$ из ее области определения выполняется равенство $f(-x) = -f(x)$.

Важным условием для обоих случаев является симметричность области определения функции относительно нуля. Если хотя бы одно из условий не выполняется, функция не является ни четной, ни нечетной (функция общего вида).

а) Рассмотрим функцию $f(x) = 7 - 2x$.

Область определения $D(f) = (-\infty; +\infty)$ является симметричной относительно нуля.

Найдем $f(-x)$: $f(-x) = 7 - 2(-x) = 7 + 2x$.

1. Проверка на четность. Сравним $f(-x)$ с $f(x)$:

$f(-x) = 7 + 2x$

$f(x) = 7 - 2x$

Равенство $f(-x) = f(x)$ приводило бы к $7+2x = 7-2x$, что эквивалентно $4x=0$, то есть $x=0$. Так как равенство выполняется не для всех $x$ из области определения, функция не является четной.

2. Проверка на нечетность. Сравним $f(-x)$ с $-f(x)$:

$f(-x) = 7 + 2x$

$-f(x) = -(7 - 2x) = -7 + 2x$

Равенство $f(-x) = -f(x)$ приводило бы к $7+2x = -7+2x$, что эквивалентно $7=-7$. Это неверно. Следовательно, функция не является нечетной.

Ответ: Функция не является ни четной, ни нечетной.

б) Рассмотрим функцию $f(x) = x^2 - 3x$.

Область определения $D(f) = (-\infty; +\infty)$ является симметричной относительно нуля.

Найдем $f(-x)$: $f(-x) = (-x)^2 - 3(-x) = x^2 + 3x$.

1. Проверка на четность. Сравним $f(-x)$ с $f(x)$:

$f(-x) = x^2 + 3x$

$f(x) = x^2 - 3x$

Равенство $f(-x) = f(x)$ приводило бы к $x^2+3x = x^2-3x$, что эквивалентно $6x=0$, то есть $x=0$. Так как равенство выполняется не для всех $x$, функция не является четной.

2. Проверка на нечетность. Сравним $f(-x)$ с $-f(x)$:

$f(-x) = x^2 + 3x$

$-f(x) = -(x^2 - 3x) = -x^2 + 3x$

Равенство $f(-x) = -f(x)$ приводило бы к $x^2+3x = -x^2+3x$, что эквивалентно $2x^2=0$, то есть $x=0$. Так как равенство выполняется не для всех $x$, функция не является нечетной.

Ответ: Функция не является ни четной, ни нечетной.

в) Рассмотрим функцию $f(x) = \frac{1}{x+3}$.

Найдем область определения функции. Знаменатель дроби не должен равняться нулю, поэтому $x+3 \neq 0$, откуда $x \neq -3$.

Область определения функции: $D(f) = (-\infty; -3) \cup (-3; +\infty)$.

Для того чтобы функция была четной или нечетной, ее область определения должна быть симметричной относительно нуля. В данном случае это не так. Например, точка $x=3$ входит в область определения, а симметричная ей точка $x=-3$ — не входит.

Поскольку область определения несимметрична, функция не может быть ни четной, ни нечетной.

Ответ: Функция не является ни четной, ни нечетной.